Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
i, ;=1 J'
Отметим, что уравнение (3.9) содержит переменные xt только в
параметрическом виде. Поэтому функция фГ " также удовлетворяет уравнению
(3.9) с начальным условием при Т = 0, вытекающим из начальных условий
(3.4), (3.7).
Для уравнения (3.9) уже можно использовать непосредственно результаты
предыдущих глав. Так, если флуктуирующая часть F (?, х) является дельта-
коррелированным по t полем, то легко выполнить усреднение в уравнении
(3.9) и получить замкнутое уравнение для соответствующей плотности
вероятностей Pt,v = = <Фг,*>- Аналогичным образом можно получить
замкнутые уравнения и в случаях, когда флуктуирующие части функций Ft (t,
ас) имеют структуру z (t)Ft (t, x), где z (t) - телеграфный или
обобщенный телеграфный процесс, a Ft (t, х) - детерминированные функции.
Отметим, что если функции Ft (t, х) в правой части (3.1) являются
линейными по х, то и решение уравнений (3.4) - (3.6) можно искать на
классе линейных функций по V. При этом мы приходим к матричным уравнениям
Риккати с квадратичной нелинейностью.
Отметим также, что изложенная методика очевидным образом обобщается и
на случай уравнений (3.1) с краевыми условиями
т
gi (х (0)) + hi (ас (Т)) + j dx Ki (х, х (т)) = vt, (3.2')
о
где gt (х), ht (>х), Ki (t, ас) - произвольные детерминированные функции.
Для этого следует воспользоваться уравнениями, сб-
168
общаюгцими уравнения (3.4) - (3.6) на данные краевые условия. Эти
уравнения приведены в [70].
Проиллюстрируем изложенную методику на простейших задачах
(простейших по постановке, но пе по возможностям решения непосредственно
"в лоб").
В качестве первого примера рассмотрим задачу о взаимодействии двух
встречных мод в случайно-неоднородной среде. Задача описывается системой
уравнений
х± = icoj^ -¦!- iz (t) x2, ,f2 = -ia2x2 - iz (t) хг (3.12)
с краевыми условиями
(0) - $х2 (0) = v±, х2 (Т) = v2. (3.13)
Краевые условия (3.13) соответствуют либо взаимодействию мод с
заданными значениями на границах среды ф = 0), либо взаимодействию мод с
условием отражения при t = 0 (z^ = 0). Задачу (3.12), (3.13) можно
переписать в форме задачи (3.1),
*-с "!)• Но ;)• <*•*"
В этом случае очевидно, что В2 (71, v) = v2 (в силу (3.13)), и,
следовательно, из (3.4), (3.5) получаем уравнения
-^г- Ri (Т, v) - i (сйоУа + z (Т) R±) = ianRi + iz (Т) v2,
1 dv2 (3.15)
ij dx-
-^r (t; T, v) - i (ы2и2 + г (T) R1)-= 0
с начальными условиями
R± (0, v) = vx + pi72, xt (t; t, v) = Ri (t, v). (3.16)
В силу линейности исходной задачи решение уравнений (3.15)
можно искать в виде ,
Rt (Т, v) = А (Т) v2 + В (Т) vu xi (t; Т, v) =
= Ci (t, T) v2^Di (t, T) Vl. (3.17)
Тогда для функций А, В, С( и Dt получаем замкнутую систему обыкновенных
дифференциальных уравнений
id- = i (cd + w2) А + iz (Т) (1 + А% -gr = iffliВ + iz (Т) АВ,
(3.18)
dC- dD-
= ш8Ci + iz (Г) ACi, = iz (T) BC{
с начальными условиями
A (0) = p, В (0) = 1,
Cx (t, t) = A (t), Dx (t, t) = В (t), C2 (t, t) = 1, D2 (t, t) = 0.
(3.19)
169
Далее задача решается стандартным Путем. Найдем, например, средние
значения <?,•>. Для этого исключим в (3.18) линейные члены и перейдем к
уравнениям, решение которых обусловлено только флуктуациями процесса z
(Т). Предполагая гауссо-вость и дельта-коррелированность процесса z (Т)
по Т, т. е. (z (Т) z (Т')у = 2ог2б (Т - Т'), можно выполнить усреднение и
написать уравнения для средних величин, содержащие моментные функции
более высокого порядка. Для получения медленных изменений средних
характеристик (на фоне быстро осциллирующих с частотой Q = с"! + (о2
процессов) при достаточно малой величине сг2 удается усреднить эти
уравнения по периоду быстрых движений; в результате придем к замкнутой
системе линейных уравнений. Решая эти уравнения с соответствующими
начальными условиями, получаем решение задачи в виде
<#1 (t)y = ехр - с14} (v± + (Зу3 ехр {ico2T - о2Т}), (3.20)
<х2 (0> = z;3 ехр {ш2 (Т - t) - or2 (Т - t)}.
Отметим, что для нахождения высших моментных функций решения задачи
(3.12) следует либо выделить действительные и мнимые части решения, либо
перейти к их амплитудам и фазам. Такой подход мы предпримем в седьмой
главе при изучении краевой задачи для одномерных волн.
