Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
седьмой главе. При этом существование решения задачи (3.40) (в
статистическом смысле) обусловлено (как мы увидим ниже) тем, что имеется
стационарное распределение для коэффициента отражения волны от слоя
среды.
На этом мы заканчиваем изложение общей теории стохастических уравнений
и переходим непосредственно к изложению физической проблемы - волны в
случайно-неоднородных средах.
Глава 6
СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС
§ 1. Приближение дельта-коррелированного случайного процесса
Продолжим рассмотрение примера о параметрическом возбуждении
колебательной системы за счет флуктуаций параметров, начатое во второй
главе. Динамическая задача описывается системой уравнений
* = У, у = -(?>гах - озоz (t)x; х (0) = х0, у (0) = у0, (1.1)
где z (t) - случайная функция времени.
Как указывалось во второй главе, это - простейшая задача, не
допускающая записи решения в явном виде. В то же время эта задача
возникает естественным путем во многих областях физики, ее решению
посвящено большое количество работ.
Уравнение для совместной плотности вероятностей величин х и у имеет
вид операторного уравнения (для дельта-коррелированного процесса z (t)):
dPt(x,y) дР, дР.
- -У -гг- +
dt J дх и ду '
+ <\(r)t [ Tdzjt)'] ^ ~ (У W ~~ У)/* ' М
где 0г [г; (т)] - логарифм характеристического функционала процесса z
(t).
Учитывая равенства
w=0' <'-3)
вытекающие из динамической системы (1.1), получаем
6 (х (t) -х) 6 {у (t) - у)= СО* Х-Ь (х (t) - х) 6 (¦у (t)~ у).
(1.4)
Следовательно, уравнение (1.2) становится замкнутым операторным
уравнением:
эр, аР, . ар. , ш* д
х~-
i ду
У ~zz-1~ -Ь
dt - - дх ' ду~ "I¦ L Г - ду (!-5)
Для гауссовских дельта-коррелированных флуктуаций функционал 176
0; равен
t
(r)([у(т)]= - °2 \dx v- (х) "г (t) z (?')> = 2ст2б (t - г')),
(1.6)
о
а уравнение (1.5) принимает вид УЭФ:
dPt дР. " дР, . д-Р.
--=-у-------------j- со0а- --pV0a:a " " . (1.7)
dt J dx 1 и Oij 1 0J/2 v '
Для пуассоновских дельта-коррелированных флуктуаций функционал (c)г
выглядит следующим образом:
t оо
&i[v(x)] = v^dx j dip (У [exp {&(х)} - 1], (1.8)
О -оо
а уравнение (1.5) превращается в уравнение Колмогорова-Фел-лера:
dPt dP dPt
-^Г~= - У -Г1- + ^0 X _L
dt v dx 1 u oy
oo
+ v5 d%p&)pt (x> У + ?<4*0 - vP((a:, y). (1.9)
- 00
Вернемся теперь к общему операторному уравнению (1.5). Из него можно
получить замкнутую систему уравнений для моментов любого порядка. Это
связано с тем обстоятельством, что в операторную часть уравнения (1.5)
переменные входят в виде однородной комбинации х которая не повышает
порядка рассматриваемого момента. Как отмечалось в предыдущей главе, это
общее свойство всех линейных систем. Болес того, в уравнения для моментов
войдут только кумулянты процесса z (t), порядок которых не превышает
порядка момента. В самом деле, разложение функционала (c)г[г> (?)] в ряд
Тейлора для дельта-коррелированпых флуктуаций, согласно второй главе,
имеет вид
0* [у(01 = ?-?-Kn(t)vn(t), (1.10)
п=1
где величина Кп (t) определяет кумулянтную функцию п-ro порядка. Если
подставить разложение (1.10) в уравнение (1.5) и написать уравнения для
моментов, то каждое интегрирование по частям понизит степень у на
единицу. Таким образом, самый длинный отрезок ряда (1.10), который
принимает участие в образовании уравнений для моментов, соответствует
степени величины у. Следовательно, в уравнение для средних величин войдет
кумулянт Кг, в уравнения для вторых моментов - кумулянты
Кх и К2 и т. д. Это означает, что если интересоваться только
177
уравнениями для моментов, то нет необходимости знать распределение
вероятностей для флуктуаций параметров, а достаточно знать только
определенные кумулянты процесса 2 (t). Как указывалось в § 5 гл.3,это
возможно только в случае, когда стохастическая система уравнений имеет
вид линейной системы:
-^- = AijXj + z(t)BijXj, x(Q) = r0,
(1.11)
и существует степень матрицы В такая, что
Вп - 0.
(1.12)
Так, для рассмотренной выше системы (1.1) матрица В имеет вид
,110 0II
В = m0 I 1 Q I