Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
В качестве примера нелинейной задачи рассмотрим движение частицы в
поле случайных сил:
хх = х2, х% = / (t, хг (?)); х2 (0) = и2, хх (Т) = (3.21)
Отметим, что динамическая система (3.21) описывает также в малоугловом
приближении задачу о диффузии в случайно-неоДно-родной среде лучей,
приходящих в заданную точку (см., например, гл. 10).
Для этой задачи очевидно, что (Т) = vx, а уравнения для R2 и xi
принимают вид
-LrRi + R2^ = f{T,v1), Rt( 0)=^,
1 (3.22)
а дх-
-jjrXi(t;T, v) ¦+ = 0, Xi(t;t;v) = Ri(t, v).
Дополняя систему (3.22) уравнением для функции dR%ldvx
1Г- =0(3.23)
дГ dvx \dvx ] dv2 дvx ' dvx т=о v
и предполагая, что поле случайных сил f(T, v) - гауссовское дельта-
коррелир'ованное по Т, т. е.
</ (Т, х) / (Т + т, ж + 8)> = 2F (S) 6 (т),
170
легко написать замкнутое уравнение для совместной плотности вероятностей
решений уравнений (3.22), (3.23)
Рт, v (R, и, ас) = <^б (R2 (Т, v) - R) 6--uj 6 (ас (t; Т, v) - эс)^> ,
которое имеет вид
ж + - uF~-iru2p = D^ +5S-> <3-24)
п г? tr\\ п d2F (S)
где постоянные D = F (0), В- -
s . Уравнение (3.24)
ds2
следует решать с начальным условием
pt,v (R, и, ас) = Pt (R, и) & (R - х2) 8 (иг - хг), (3.25)
где функция Рр (R, и) также удовлетворяет уравнению (3.24) с начальным
условием
Р0 (R, и) = 6 (R - у2) 6 (и). (3.26)
Отметим, что переменная и является "лишней" переменной в задаче. Она
была необходима для получения замкнутого статистического описания системы
(3.22). Теперь мы можем ее исключить, интегрируя (3.24), (3.25) и (3.26)
по и. В результате получаем уравнение для функции Рт,* (R,
ас)
-±г Рт, . № ас) + R = D (3.27)
с условием Pt v (R, ас) = Рг (R) 8 (R - х2) 8 (vt - Xj), где функция Рт
(R) удовлетворяет уравнению (3.27) с условием Р0 (R) = = 8 (R - v2).
Введем характеристическую функцию
Фг," (х, со!, со3) = <ехр {ixR + ico^ + гсо2;г2}>, (3.28)
которая, согласно (3.27), удовлетворяет уравнению
^ = 'тагф-^2ф (3-20)
с начальным условием
Фг," (х, (c)!, со2) = ехр {ш^} (х + со2), (3.30)
а для функции фг " (х) имеем
Фо,в = Л (3-31)
Решение уравнения (3.29) с условием (3.30) имеет вид Фг, " (и, Иц ">2) =
ехр jicoii;! - D j^x2 (Т - t) - хсо! (Т - ?)2
+ ^ (Г - tf J} ф, [х + со2 - Wl (Т - i)], (3.32)
171
где функция фг (к), удовлетворяющая уравнению (3.31), равна Ф/ (х) =
ехр {iKV2 - DkH}.
Полагая теперь в (3.32) х = О, получаем для совместной характеристической
функции решения задачи (3.21) выражение
Фг, * ((r)i. "2) =<ехр {шгх 1 (t) 4- 1ЩХ2 (t)}) -
I Da*
= exp |гсох [Vi - иг{Т - it)] + m2v2---(T - tf -
- Dt lto2 - щ (T - i)]2} •
(3.33)
Таким образом, совместное одноточечное распределение вероятностей для
величин ху (t) и х2 (t) оказывается гауссовским. Такое же распределение
вероятностей имеет статистическая задача
Ху = х2, х2 = / (t, 0); х2 (0) = v2, хг (Т) = vv (3.34)
Другой подход к рассматриваемой проблеме предложен в работе [71], где
проанализирован также вопрос о возможной не единственности решения
краевой задачи, что мы не принимали в расчет. Отметим только следующее,
важное, на наш взгляд, обстоятельство.
Как мы говорили в первой части книги, дельта-коррелированных
процессов в природе не бывает, и аппроксимация флуктуирующих параметров
дельта-коррелированными процессами может быть обоснована для задачи Коши.
Если же имеется краевая задача, то флуктуирующие параметры могут
обладать, помимо динамического радиуса корреляции, также
характеристиками, связанными с размером системы (например, волна,
падающая на зеркало, после отражения проходит через те же
неоднородности). В этом случае условие дельта-коррелированности
параметров надо понимать как условие для задачи Коши теории инвариантного
погружения.
Теория инвариантного погружения может быть очень эффективным
аппаратом и при анализе стохастических интегральных уравнений *).
Пусть имеется стохастическое интегральное уравнение для функции Грина
оо
G (t, t0) = g (t - t0) + a J dx g (t - t) z (t) G (t, *0),
(3.35)
Ь
где 0 t, t0 oo, g (t - t0) - детерминированная функция, a z (t), как и
ранее,- гауссовский S-коррелированный процесс с параметрами
<z (*)> = 0, <z (0 z (*')> = 2cr2S (t - t').
(3.36)
*) Нижеследующие результаты получены совместно с Г. И. Бабкиным.
