Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Подставляя (1.20) в (1.17), получаем замкнутое уравнение для функции фг>*
(д, "):
=i{ViFi ^ ^-G &qS>} ф +
+ ^{wVkVi~'ltrVk}v~Fi{t' q^-F^1' q^%-' (1-21> 160
которое можно переписать в окончательном виде так:
dt
, д
dv
vF(t, q)) - -g-j}9( x(g, -У). (1.22)
Уравнение (1.22) является уравнением Лиувилля для исходного
квазилинейного уравнения (1.14). Начальным условием для (1.22) является
условие
Фо,* = S (q0 (ж) - q) б (Vg" (х) - v). (1.23)
В частном случае одномерного уравнения
-!r+"-5-=G<(' 1). а-**)
описывающего распространение нелинейной волны, (1.22) упрощается:
[4т + 9-k) Ф = иФ - ^ G (?) <Р + ^7 f2 - и if} <*>¦
В заключение отметим, что и нелинейное уравнение общего вида
-J- + Н(р, q, х, 0 = 0 (j>= ^-) , (1.25)
содержащее производные по ас только первого порядка, также сводится к
интегрированию функции q по характеристикам dp
дН дН
dt ^ дд дж 1 /< 2"\
dж дН dq Tj дН
чг = -1Г' 1Г = - н + р •
Уравнения (1.6) и (1.14), подробно рассмотренные выше, являются частными
случаями уравнения (1.25).
Легко написать уравнение Лиувилля для системы (1.26), которое будет
определять плотность вероятностей в лагранжевом представлении. Можно
показать, что и в общем случае удается непосредственно получить уравнение
Лиувилля для плотности вероятностей W (q, р, pa, ас, t) в эйлеровых
переменных [68]. При этом необходимо ввести п (п + 1)/2 дополнительных
переменных put = pki == d2q/dxidxi:, описывающих кривизну поверхности,
ортогональной к характеристикам ас, р. Схема вывода такова. Введем
плотность вероятностей
W = б (q (t, х) - q) б (р (х, t)-p) б (р (х, t) - р), (1.27)
где р означает матрицу рДля W получаем уравнение
___LJl-W________t-OlLw--------- ^-W. (1.28)
dt - dq dt vv dp, dt dpih dt
'161
Дифференцируя (1.25) пожг, а затем по хк, можно найти уравнения
др> dpik * для величин Q , которые, вообще говоря,
содержат производ-
ные от q по ж третьего порядка. Однако, если записать выражение / д , дН
д \ тт, .
для величины -f- И , то оно не будет содержать произ-
водных третьего порядка, и уравнение для W оказывается замкнутым. Лишь в
случае, когда уравнение (1.25) является квазилинейным, величина W может
не содержать дополнительных переменных рц(.
Отметим, что в описанную выше схему без осложнений удается включить
еще величину I, удовлетворяющую уравнению неразрывности
так как при этом не возникает новых переменных. В том случае, когда
уравнение (1.25) соответствует распространению света в малоугловом
приближении геометрической оптики, величина / определяет интенсивность
световой волны (см. гл. 8, 10). Если же
(1.25) - это уравнение Гамильтона - Якоби, то / соответствует квадрату
амплитуды квазиклассической волны.
Чтобы не загромождать изложение, рассмотрим в качестве примера
уравнение Гамильтона - Якоби с произвольным законом дисперсии при п = 1;
тогда
Н = G (р) + U {х), р = qx, г = qxx, v = qxxx, а уравнения для риг
таковы:
р',= - U' - G' г, г' = - U" - G" г2 - G' v.
Гt X Р 1 t XX рр р
В результате получаем следующее уравнение для величины
^q^ р^ у^ f'j'
G'~+ (PG'{U" + r*G") ^ = 2,G"rW.
(1.30)
Случай геометрической оптики будет рассмотрен в десятой главе.
Отметим, что в общем случае для систем (1.25), (1.29) можно написать
уравнения Лиувилля как для лагранжевой плотности вероятностей Р (q, р, р,
/, ж, ?), так и для эйлеровой W (q, р, р, /, ж, ;?); эти величины, в
соответствии с полученными в [67] результатами, связаны соотношением Р -
IW, следствием которого является то обстоятельство,что можно получить
замкнутое уравнение для функции
W (q, р, ж, t) = I (ж, t) б (q (ж, t) - q) б (р(х, t) - р),
совпадающее с уравнением для плотности вероятностей лагранже-вых
переменных q, р, ж.
162
§ 2. Статистическое усреднение
В предыдущем параграфе было получено стохастическое ураб-нение
Лиувилля для простейших уравнений в частных производных - линейного и
квазилинейного. Учитывая, что уравнение Лиувилля само является линейным
уравнением в частных производных, можно усреднить его по ансамблю
реализаций флуктуирующих параметров и, следовательно, получить замкнутое
