Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
§ 1. Стохастическое уравнение Лиувилля для уравнений в
частных производных
В предыдущих главах мы говорили о том, что для любой системы
обыкновенных дифференциальных уравнений, например вида (3.1.1):
dl. (г)
= Vi (1, t) + и (1, t), I (0) = !о, (1 Л)
можно ввести функцию
сРг (х) = б (1 (t) - х), (1.2)
которая называется плотностью вероятностей для траектории системы (1.1) и
удовлетворяет линейному уравнению в частных производных
Зф.(х) а , "
~Tt-= - to! [Vi(x' V + 01 фИ*)- С1-3)
Уравнение (1.3) называется стохастическим уравнением Лиувил-
ля, если поле f (х, t) - случайное поле пространственно-временной точки
(ж, t).
Иначе дело обстоит в случае, когда система с самого начала
описывается дифференциальным уравнением в частных производных
<7, Й-'--')' Ч(0,х) = д0(х). (1.4)
В этом случае получить уравнение для функции
ф(, х (д) = Ь (д (t, х) - д), (1.5)
параметрически зависящей от пространственно-временной точки
(х, t), не всегда удается. Это можно сделать, если уравнение (1.4)
содержит пространственные производные только первого порядка. Прежде чем
рассмотреть этот случай, обратимся к частному примеру - линейному
уравнению первого порядка
d?JL>xl. + u(t, х) d9^'J$-=4(t, x)g(t, х) (1.6)
158
с начальным условием
q (0, х) = q0 (х).
(1-7)
Как хорошо известно, решение линейных уравнений первого порядка в частных
производных эквивалентно решению обыкновенных дифференциальных уравнений
для его характеристик. Так, уравнение (1.6) описывает перенос полем
скорости и (t, х) концентрации примеси q (t, х) и величина, стоящая в
левой части (1.6), является цолной производной по времени (лаграпжевой)
от величины q (t, х), т. е.
-^q(t,x) = -^q (t, х) + и {t, х) дд-{*ж-] • (1.8)
Уравнение же для характеристик (1.6) имеет вид обыкновенного
дифференциального уравнения
^j* = F(f), F (*) = "(*, as (f)), x(0) = Xo (1.9)
и описывает движение частицы в поле скоростей и (t, х). Если поле
скорости и (?, х) в (1.6), (1.9) является случайным полем
пространственно-временной точки (ж, it), то статистическая задача (1.6),
(1.9) описывает диффузию примеси и частиц в случайном поле скоростей.
Получим уравнение Лиувилля для (1.6), следуя [66]. Дифференцируя
(1.5) по t и используя динамическое уравнение (1.6), получаем
X (?) /. ч d dq (t, со) 5 , ч ч /. ч д , .
--------= u(t, % &(g(t, x) - q) - y(t, x)-^.q%lX(q).
(1.10)
Уравнение (1.10) еще не замкнуто относительно функции ф;_ х (q) благодаря
первому члену в правой части (1.10). Продифференцируем теперь (1.5) по х.
В результате получим равенство
= *)-,). (1.11)
Сравнивая (1.11) с правой частью (1.10), видим, что уравнение
(1.10) можно ¦ переписать в замкнутом относительно функции фt,x (q)
виде:
5фг, s и \ dcpt "(ч) .. . д . . ..
---+ u(t, х)-^------------= ~y(t, x)-^qq>t!X(q). (1.12)
Это и есть уравнение Лиувилля для уравнения (1.6). Левая его часть имеет
вид полной производной по времени:
* (в) = - Y (^" xy~qm,x{4)- (1-13)
Рассмотрим теперь, следуя [67], случай квазилинейного уравнения,
159
которое запишем так:
m^ + F(t, q)^L = G(t, q), q (0, x) = q0 (x).
(1.14)
Можно рассмотреть также случай, когда F и G в (1.14) зависят от х, однако
для простоты выкладок мы этого делать не будем.
Теперь написать замкнутое уравнение для функции (1.5) не удается.
Дополним (1.14) уравнением для функции Vg (t, х)
д дд , dFi dq dq " o2q dG dq
dt dxj. ^ dq dxk dx. 1 i dxdx^. dq dx' '
'
_ dqa (x) 1 "=0 dxk
dq
с. начальным условием
к
Введем функцию
Ф(,* (ч, v) = 8 (q (t, х) - q) 8 (Vq (t, x) - v), (1.16)
описывающую совместное распределение вероятностей поля q (t, х) и его
пространственного градиента Vq (t, х). Дифференцируя (1.16) повремени и
используя динамические уравнения (1.14),
(1.15), получаем
dq> dm dq dw d dq d " , . , n , .
iJF= --F<p-
5 { dt t r d2q | dG /л л-\
~0^:{--WVh-Vi~Fi^-^--WVk\^ (11,)
Уравнение (1.17) не замкнуто относительно функции ф(,ж (q, v) из-за
наличия в правой части члена
(,Л8)
Для V<pt,x (я, v) имеем (дифференцируя (1.16) по х)
dw d d d2q (t, x) A m
Следовательно, выражение (1.18) можно переписать в терминах только
функции (pt,x(q,v), а именно:
?) ф*. - (?> ^) = -Fi (t, ?)^0 ¦ (i-20)
