Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кляцкин В.И. -> "Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах" -> 73

Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.

Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах — М.: Наука , 1980. — 337 c.
Скачать (прямая ссылка): stohasticheskieuravneniyaivolni1980.pdf
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 135 >> Следующая

i 2 CT^
= - exp {2 (u) + 2а"} {1 - e ф cos 2co00 =
- -e 0 {1 - e 2 cos2a>0i},
H
совпадающее с выражением (1.21) с точностью до членов порядка сг2со0 1.
При наличии линейного трения система описывается уравнением (1.22).
Вводя в этом случае новую функцию х (t) == e~ytx (t), для х (t) получаем
уравнение
.>2
х + Q2
1 + -3:z(t)
х = 0 (Q2 = со2 - у2). (1.1')
Считая, что у со0, мы возвращаемся для х к уравнению (1.1).
Следовательно, в этом случае
<?2 (?)> = ~т ехР {(а2(Во - ^ ~ ехР {----|га2со° cos 2wo^|
и параметрическое возбуждение системы имеет место при выполнении условия
(1.26).
183
Отметим, что УЭФ (1.35) можно получить и другим способом. А именно,
рассмотрим уравнения, которые назовем укороченными уравнениями:
Ф=о0 b(t), (1.39)
где введены новые случайные процессы
h (t) = z (f) sin 2i|>, (t) = z (t) sin2 г|>. (1.40)
Используя равенства (1.33), легко можно найти статистические
характеристики процессов (t). Так, для их средних значений
имеем
<?i (Ф = 2(r)оо2 <cos 2-ф sin2 г[>>,
<g2 (t)y = 2со0сг2 <sin3 г]5 cos г|>>.
Усредняя теперь (1.41) по периоду колебаний Т, получаем
<Ii (*)> = - . <1. (*)> = 0- (1-'42)
(1.41)
Аналогичным образом получаем

СО "Л

(1.43)
и УЭФ (1.35) соответствует УЭФ для укороченных уравнений
(1.39) при условии, что процессы (t), (t) можно рассматривать
как гауссовские дельта-коррелированные процессы, а их статистические
характеристики описываются формулами (1.42), (1.43) [74]. Конечно, это
накладывает ограничения на интенсивность флуктуаций z (t).
Отметим, что с формальной точки зрения УЭФ (1.35) для медленных
изменений статистических характеристик и (t) и ф (t), описываемых
уравнениями (1.31), можно получить следующим путем.
1. Не будем учитывать то обстоятельство, что = ij? (if) = = u>0t +
Ф, т. е. "заморозим" время t в правой части (1.31). Тогда, как показано в
гл. 4, можно написать уравнение для совместной плотности вероятностей и
(!) и ф (t):
dPt ("> я>) Д Г (Оо 3 • О , "о <5 . 2 , 1 D / ч
-й- = Lit ^8Ш 2гР - - a?Sin ^J р<{и'
где [г; (т)] - логарифм характеристического функционала процесса.
2. Учитывая, что уравнение будет усредняться по временам ~Т =
2п/(c)0, а это может быть справедливым только для флуктуаций z (t) малой
интенсивности, необходимо разложить (c)г [г; (т)] в ряд по интенсивности
флуктуаций z (t). В результате приходим к УЭФ (1.34).
184
3. Усредняя (1.34) по t, получаем УЭФ (1.35). Таким образом, по-
видимому, переход к статистическим характеристикам, усредненным по
периоду быстрых осцилляций, не зависит от вида случайного процесса z(t).
Аналогичная ситуация имеет место и для не дельта-коррелированных
процессов. В следующей главе мы рассмотрим задачу, аналогичную (1.1),
только с краевыми условиями для различных процессов % (t). Там будет
показано, что решение задачи для медленных изменений статистических
характеристик не зависит от вида процесса.
Для стохастического параметрического осциллятора с трением можно
рассмотреть задачу о стационарном режиме, устанавливающемся под действием
случайных сил, статистически не зависящих от флуктуаций частоты. Итак,
рассмотрим уравнения
%=У, % = -2yy~<4[l+z{t)]x+f{t), (1-22')
х (0) = у (0) = 0,
где / (t) - гауссовский дельта-коррелированный процесс, т. е. </ (t)f
(г')) = 2а/6 (t - г'), a z (г) -дельта-коррелированный процесс с <z (t)y
= 0, <z (t)z (t')y = 2o26 (t - t'). Усредняя (1.22'), получаем (x (t))> -
<;/ (?)> - 0. Уравнения для вторых моментов в этом случае выглядят как
система уравнений
<ж2> = 2 <ху>, ~ (ху> = (у2) - 2у (ху) - и* <ж2>,
at at
-^-<г/2> = - 4у (у2) - 2'Од (ху) +2а24 (х2) + 2а],
стационарное решение которой существует при о>2о)о 2у и вы-
глядит так:
а2
2у) ' ^ ^ з2ш2 - 2у
Подробный анализ поведения стационарного решения для старших моментов и
плотности вероятностей решения уравнений (1.22') содержится в работе
[75].
Аналогичным образом можно найти и стационарные корреляционные функции
решения системы (1.22').
Мы рассмотрели систему уравнений (1.1) в приближении дельта-
коррелированного процесса. Оценим теперь, в каких случаях это возможно. В
принципе следовало бы рассматривать уравнение для плотности вероятностей
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 135 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed