Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кляцкин В.И. -> "Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах" -> 76

Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.

Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах — М.: Наука , 1980. — 337 c.
Скачать (прямая ссылка): stohasticheskieuravneniyaivolni1980.pdf
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 135 >> Следующая


Ш0 V i -\- а
О) = <У>,
<У> = - -
t
(хУр -
У о Рхо
(2-14')
L(p) + a2C1(p)IC0{p) '
190
счет флуктуаций частоты:
х + щх + co2z (t)x = О, х (0) = х0, х (0) = г/0. (2.15)
Пусть теперь z (t) = zx (t) + . . . + z-v (t), где zt (t) - статистически
независимые телеграфные процессы с корреляционной функцией
<z; (t)zj (*')> = <z2>6i;- ехр {-а \ t - t' |}. (2.16)
Поскольку для этого уравнения (см. § 3 гл. 4) L + (Dq,
М [р, q] = С0о, преобразование Лапласа для среднего от решения
(2.15) описывается конечным отрезком цепной дроби
(х)р = F (р)К0 (р), Ki (р) = [А г (р) - Bi (p)Kt+1 (р)]-\
(2.17)
где
A i (р) = (р + al)2 + соI, В, (р) = <z2> (I + 1) (N - I) oil
a F (р) = х0р + у0. Так, если N = 1, то цепная дробь (2.17) принимает вид
(x}p = F(p)
'п* , п2 Ш°'<г2>
р + юо - --: - 2
(р + а) + м0.
(2.18)
что соответствует решению системы уравнений (2.7) с помощью
преобразования Лапласа (формула (2.7')). Решение (2.18) было получено
ранее во многих работах.
Если теперь в (2.17) положить <z2> = a2//V и перейти к пределу при N-
*¦ °о, то, согласно результатам гл. 4, получаем решение задачи в случае
гауссовского марковского процесса z (t) с корреляционной функцией
(z (t)z (?)У = a2 ехр {-а \ t - t' |} (2.19)
в виде бесконечной цепной дроби (2.17) с параметрами
A i (р) - (р + ccZ)2 + coo, Bi - а2 (I + 1) со j. (2.20)
Это выражение было получено ранее другим путем в [19].
Рассмотрим теперь квадрат величины х (t), описывающий энергию системы
(1.1). Эта величина, как функция времени, описывается уравнением (и = х2
(<))
+ 4"; + 2"; (*(,)-?- + -*¦*")")=0 (2.21)
с начальными условиями
и (0) = xl, й (0) = 2х0у0, й (0) = 2г/2 - со2[1 + z (0)]^. (2.22)
В этом случае (2.21) также относится к уравнению типа (4.3.54),

191
рассмотренному в четвертой главе, с операторами
L (р) = Р (Р2 + 4соо), М [р, q] = 2{i)o (Р + Я)- (2.23)
Начальное условие для (2.21) содержит в себе значение процесса z (t) при
t = 0, т. е. начальное условие, вообще говоря, коррели-ровано с
коэффициентами уравнения. Если, например, х (0) = 0, то корреляции нет и
решение уравнения (2.21) имеет вид отрезка цепной дроби
<u>p = F (р) К0 (р), К i (р) = [А г (р) - В г (р) Kl+1(p)V
(2.24)
(2.25)
где F (р) = 2у\,
Ai(p) = (Р + "0 Кр + "О2 + 4<о02],
Bt{p) = 4 <z2> (I + 1 )(N - I) (4 [2p + a (21 + 1)]*
В случае N = 1 получаем решение, соответствующее одному телеграфному
процессу:
0>Р = L ь + _^,2> дуг (/J) (¦(р) = 2м0 (2р -f а)). (2.25)
Это выражение обобщает решение задачи (1.19) на случай теле-
графного процесса и является решением системы уравнений (2.10). Полагая
теперь <z2)> = a2/N и переходя к пределу при Лг ->• оо, получаем решение
для гауссовского случайного процесса z (t) в виде бесконечной цепной
дроби (2.24) с параметрами
Аг(р) = (р + al) [(/> + a If + 4(Oq],
Bt (р) = 4о2ш40 (I + 1) [2р + а(21 + I)]2.
(2.26)
Это решение впервые было получено в работе [19].
Аналогичные решения можно получить, как указывалось в четвертой
главе, и в случае, когда z (t) - квадрат гауссовского марковского
процесса.
Рассмотренная выше задача о статистической параметрической раскачке
динамической системы за счет флуктуаций параметров могла быть описана как
в приближении дельта-коррелировапности случайного процесса z (t), так и
для процессов с конечным радиусом корреляции благодаря тому факту, что
начальные условия задавались в одной точке, т. е. выполнялась
динамическая при--чинность. Если же граничные условия задаются в разных
точках, то для соответствующей задачи не будет выполняться условие
причинности. В этом случае надо воспользоваться теорией инвариантного
погружения, позволяющей свести краевую задачу к задаче Коши. В следующей
главе мы и рассмотрим пример такой задачи - волну в одномерной случайно-
неоднородной среде.
Г лава 7
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ОДНОМЕРНОЙ СЛУЧАЙНО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
§ 1. Постановка задачи
Задача о распространении волн в одномерной среде со случайными
неоднородностями традиционно привлекает внимание многих исследователей
[76-90]. Это обусловлено, с одной стороны, простотой этой задачи по
сравнению с аналогичными задачами для двух- или трехмерных сред и, с
другой стороны, важностью ее для понимания физики процесса
распространения волн в случайных средах. Учитывая, что эта задача
допускает точное решение, можно проследить на ней влияние различных
моделей среды и краевых условий на статистические характеристики волны.
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 135 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed