Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
ехр {- ikx} и В (х) ехр {ikx} не обязательно совпадают с падающей и
отраженной волной в среде, в чем легко уб'едиться в случае ё (х) = const.
Однако коэффициент отражения волны от слоя, определенный по формуле
(1.12), не зависит от способа разделения полей при 0 < х < L. В силу
этого замечания функция R (х) не имеет какого-либо физического смысла.
Физический смысл имеет только величина R (L), так как через нее
выражается коэффициент отражения волны от слоя флуктуирующей среды
толщины L. Эта же величина, как функция толщины слоя, будет, очевидно,
удовлетворять уравнению, вытекающему из
(1.14):
^ = 2 i(x + iy)R(L) + J^l{L)\i+R{L)\\ (1.14')
195
с начальным условием, получающимся из (1.11):
Такая запись уравнения соответствует теории инвариантного погружения (см.
гл. 5). Имея в виду сказанное выше, мы будем работать с уравнением
(1.14). Отметим, что в частном случае, когда
к = выражение (1.12) упрощается и принимает вид
Rl = R Щ, (1.15)
а если при этом и к0 = к, то начальное условие (1.11') станет таким:
R (0) = 0. (1.16)
Для определения поля внутри среды введем функцию
(1Л7)
Функция г|; удовлетворяет уравнению первого порядка по х (уравнение
Риккати):
^(0) = х- <1Л8)
Если мы знаем решение уравнения (1.18), то поле волны внутри среды можно
найти из линейного дифференциального уравнения (относительно U (х))
(1.17), решение которого с условием U \x=l = = Al (1 + Rl) имеет вид
L
U (х) = Аь (1 + Rl) ехр {г& J (?)j • (!-19)
Выражение (1.19), однако, не очень удобно для анализа. Его можно
переписать в другом виде, а именно:
L
U (х) = Al (1 -f Rl) ехр \i J [(Ч> + V) + ("Ф - V)]} • (1-20)
ОС
Теперь можно исключить из (1.20) мнимую часть г|э (х). В самом деле, из
уравнения (1.18) следует, что
А (г|) + г|>*) = Ы (г|)2 - гр*2) + у (2 - -ф2 - г|;*2) (1.21)
(в правой части (1.21) мы пренебрегли малым членом уе), и, следовательно,
гх (ф - ф*) = ^ In (я|з + ф*) + у Ф • (1-22)
196
Подставляя (1.22) в (1.20), получаем выражение для поля U (х):
U [х) = Al (1 + HL)
f(L) + V(L)
•ф (x) + ф* (x) L
1 . iV
2 2И
X
X exp ji ^ (г|з + г|з*) - у dl
- фф*
(1.23)
Следовательно, интенсивность волны I - UU* внутри среды описывается
формулой
I (х) = h (1 + Rl) (1 + Rt) 1 X
_ ty(x) rV(x) L
Xoxp{-2Y$dS-i^l} (h = \AL |2). (1.24)
Отметим, что в случае отсутствия поглощения (у = 0) равенство
I [х) = /о (1 + Rl) (1 + Rl)
ф(Ь) + ф* (L) . 1>W + 'Ф* (*)
(1.24')
сразу следует из закона сохранения потока энергии в среде
-) = 0, (1.25)
d /,,* dU тт dU*
IF Г.
если вместо U' (а-) подставить ее выражение через г)5 по формуле
(1.17). Выразим теперь в формуле (1-24) функцию г); (х) через R (х)
согласно (1.17). В результате получаем равенство
/(*) = /"(1 + лJ(1 + Bt) г1|д|У + х
Xe*p{-2T$<il4^§f}. (1.26)
зс
где Rl связана с величиной R (L) формулой (1.12). Выражение
(1.26) сильно упрощается в случае к = kL и, в силу (1.15), принимает вид
I (X) = I0 [1 - 1 R (L)H 1 + 1 R (xlР+"д (д),+ R* {х) X
1-|R(x) I*
X ехр {
(1.27)
Отметим, что величина I (0)/I0 = | Т |2 представляет собой квадрат
модуля коэффициента прохождения волны через слой среды (Т = AJAl).
Следовательно, полагая в (1.27) х = 0, получаем связь между коэффициентом
прохождения и коэффициентом отражения волны при наличии поглощения в
среде, которая являет-
197
с я, однако, очень сложной. В частном случае А'0 --- к эта формула
упрощается:
L
| Т I2 = (1 - I Rl I*) охр {- 2у 5 dl 1^1^} • (1.28)
Введем теперь модуль и фазу комплексной функции R (ж):
i п = у
/ II (¦'¦)--1
J охр |/(| (./ )], /¦• • ! •
(1.29)
Тогда формулу (1.27) можно записать как
'Ли
1 (.г)
I ч (1,
X exp j- 2 у d\ и (|)j , (1.30)
а сами функции и (x) и ф (.г) описываются уравнениями, вытекающими из
(1.14):
du
dx - ~2у № -!) : х -jjj-У - 1 si]1 ф.
dx
¦ 2 у. к
|е|
1 :
У и2 - ]
COS ф
с начальными условиями, получающимися из равенства
