Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
стационарное распределение вероятностей при х -оо (напомним, что для
переменной R (х) роль х играет параметр L - толщина слоя) [86, 87]:
Рх(и)= тгехР {- 17 4)} (2-9)
с помощью которого можно оценить, например, величину
оо
'(L)P> = ^du^^Px (и).
\
Л\
При 2y/D 1 распределение вероятностей (2.9) сосредоточено
вблизи и ~ 1 и, следовательно,
<|Л(Ь)Т>=^г.
Если же 2y/D 1, то распределение вероятностей (2.9) имеет
большую ширину и
<|fl(L)|2Wl-4flnA.
В случае, когда слой флуктуирующей среды не поглощает волну, т. е.
все величины к вещественны, у = 0 и уравнение (2.8) принимает вид
дР (и) я дР (и)
d4-(u*- 1)-#1 (2л°)
дх ди ' ' ди
Уравнение (2.10) получено описанным выше путем в работе [80]. Это же
уравнение было выведено ранее в работах [76] с использованием красивой
аналогии рассматриваемой задачи с броуновским движением частицы на
плоскости Лобачевского; при этом величины и и ф в выражении (1.29)
связаны с полярными координатами на этой плоскости. Решение уравнения
(2.10) с начальным условием Рх=,ь (и,с) = б (U'x - и?) определяет
плотность вероятностей перехода и записывается в виде интеграла Мелера -
Фока (см. гл. 3):
р(иь, L | их, х) =
оо
d\i р, th р-яехр |- D ^р,2 + (L - я)| P-i/i+in (ul)
(их),
(2.11)
201
где P., ;+iu (и) - функция Лежандра первого рода (функция ко-нуса),
удовлетворяющая уравнению
jL(u>- i)-!LP-4Aiti(u)= - (У -!- 4-)^-'Д+п. (")• (2.12)
Рассмотрим теперь частный случай Л-,, к. Тогда начальное условие для
(2.1(1), определяющее одноточечную плотность вероятностей, будет
Р0 (и) - б (и - .1),
что соответствует условию Я (0) - 0 в (1.11'). 11рн этом решение
уравнения (2.10) упрощается м лрнплмает .вид
X
Рх (и)= ^ d\,i j.i I h ця exp j - D ^i2 4-i-ja-J- P-ч^ ("•).
(2.13)
Используя интегральное представление для функции Лежандра (см. гл. 3),
можно переписать (2.13) следующим образом [80]:
n , i > охр{- DL/4} I , ' 'Р1 4и \
PL ch и) = -----------Чу- \ dx---±- . (2.14)
2 у 2л (DL)'") у сli х - ch и
С помощью распределения (2.14) легко вычислить статистические
характеристики коэффициентов отражения и прохождения волны.
Так, для величин <| Я (L) | 2) , и <| Т |2) получаем выражения
ос
<| Я (L) |2> = ^ du ^-{Pl (u) =
= 1 - <| Г |а>,
,/| J' |2\ __
4 ( 1)L) Г , xh~x*
ехр \--J J dx-
0
ем
У л 1 '* J J гЬ (г У DL)
(2.15)
Н. РИС. 14 по данным работы [801
через слой флуктуирующей ере- приведен результат численного инте ды как
фупкцтш толщины слоя, грирования для величины <(| Т |2)>
как функции параметра DL. Из рисунка
видно, что при L -> оо (DL 1) <| Т (L) | 2> -> 0,
т. е. одномерная среда, занимающая полупространство, полностью отражает
волну. При этом все моменты величины ) R (L) ]2 стремятся к 1 (см.
следующий параграф).
202
§ 3. Флуктуации ннтенсивностн волны внутрн слоя среды (стохастический
волновой параметрический резонанс)
Рассмотрим теперь вопрос о нахождении статистических характеристик
интенсивности волны внутри среды. Как мы говорили, интенсивность волны
описывается формулой (1.30), где функция ф (а') имеет структуру (2.2), а
функции и (х) и <р (х) медленно меняются на расстояниях порядка длины
волны. Поэтому при изучении различных комбинаций из функций / (х) целе-
сообразно рас-сматрнватьих медленные изменения но х, т. е. предварительно
усреднить по быстро меняющимся па длине волны функциям. Такое усреднение
будем обозначать тильдой. Так, усреднение выражения (1.30) дает
L
1 И = I2-ц (1у ехР {- 2V jj d|w(l)} ¦ (3-1)
Эта формула была найдена ранее в работе [89]. Аналогичным образом
получаем
L
Г2 Н = (., М - 1) UXP ] - 4v Jj dl и (I)| (3.2)
,Y
и т. п. Далее, без ограничения общности положим /0 =г- 1/2. Как
указывалось выше, функция и (ж) в (3.1), (3.2) и т. п. является
марковским случайным процессом. Если при этом систему (1.31) для функции
и (х) дополнить уравнением
%L=2w{x), 7(0) = 0, (3.3)
то для нахождения медленно меняющихся статистических характеристик и (х)
и q (х) можно рассматривать их как совместный марковский процесс,
плотность вероятностей которого описывается
уравнением (2.8) с добавлепиелг в правую часть члена - 2у-^иРх.
