Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
= <^ехр Ц dx я (т) Ф [t, r\ v (т)] |,=э =
= Ф(
i &V (т)
ф[?, г; ^(т)]|Ф==0, (5.61)
где Ф4 [v (t)J - характеристический функционал процесса z (t). Для
гауссовского процесса
<-)г \v (т)] (t) v2 (t)
(<?(*, V)=|BWMW>°),
и, следовательно, получаем хорошо известный результат, что
103
решение уравнения диффузии
и = - qu -)-В (t) Аи, и (0, г) = и0 (г) (5.62)
можно трактовать как результат усреднения функционала ср по гауссовскому
случайному процессу s(t). Для пуассоновского
П
случайного процесса z(t)- 2 (? - h)
i=i
0, [¦") (т)] = V dip (I) {exp {i%v (t)) - 1}} ,
Q (t, V) = v p (1) {exp (|V) - 1}} ,
и, следовательно, решение интегро-дифференциального уравнения
да ~dt
и (0, г) = щ (г)
ди = - qu + v [ d\ р (|) и (t, ?* + !) - vu(t, г),
(5.63)
*}
удается представить как результат усреднения функционала ср, т. е.
и (t, г) = <<р [i, г; г (т)]>г
только в том случае, если функцию р (|) в (5.63) можно интерпретировать
как плотность вероятностей случайной величины
В случае р (|) = б (| - г0) уравнение (5.63) упрощается и принимает
вид
^L= - qu + v[u(t, r+r0) - u(t, r)\. (5.64)
Уравнения (5.63), (5.64) представляют собой при этом уравнения
типа переноса.
Рассмотрим теперь в качестве примера случай линейных операторных
стохастических уравнений
dx ¦
-M- = Aii{t)X}Jrz{t)Bi){t)x}, (5.65;
х (0) = х0 (г = 1, . . ., N),
где А, В - детерминированные операторы. Эти операторы могут
быть, например, операторами дифференцирования по вспомогательным
переменным или обычными матрицами. Функцию z (t) будем считать случайной
дельта-коррелированной функцией. Усредним систему (5.65). Согласно общим
формулам
"\~rfT^ = ^ ^х^ _ibz{t) ] х% '
(5.66)
Учитывая теперь равенство
(г)
которое следует непосредственно из характера системы (5.65), уравнение
(5.66) можно переписать в виде
-fa \xi) - -Ajj (t) (a'j) -j- 0( j^- В (t) _ (Xj). (5.68)
Таким образом, для линейной системы (5.65) уравнения для средних значений
также являются линейными.
Логарифм характеристического функционала 0( [и (т)] для дельта-
коррелированных процессов раскладывается в функциональный ряд Тейлора
(см. гл. 2):
00 .п t
ei Ит)1 = S d^Kn^)vn{x), (5.69)
7J=1 0
где Kn (l) определяют кумулянтные функции процесса z (t). Подставляя
выражение (5.69) в (5.68), получаем уравнение
<*i>-
(5Л0)
71=1
Если теперь существует такая степень оператора В\ что
В1 = 0, (5.71)
то уравнение (5.70) принимает вид
г-1 К
± <^> = AiS (х}у + ^ [Ё" <*>>¦ (5'72)
п=1
В таком случае в уравнение для среднего значения входит только часть
кумулянтов процесса z (t). Это означает, что если интересоваться только
уравнением для среднего значения, то совсем не обязательно знать
распределение вероятностей для функций z (t); достаточно знать только
определенные кумулянты процесса z (t) и то обстоятельство, что процесс z
(t) можно рассматривать как дельта-коррелированный случайный процесс.
Остановимся теперь па общем методе последовательных приближений,
пулевое приближение которого соответствует дельта-коррелированным
процессам и полям, а следующие приближения дают возможность получить
условие применимости этого приближения для флуктуаций параметров систем.
§ 6. Метод последовательных приближений
Выше мы рассматривали систему уравнений (5.1) (или (1.1)) в
предположении дельта-коррелированности случайного поля / (х, t) по
времени. В реальных же условиях случайные поля / обладают конечным
временем корреляции т0, и рассмотренное приближение может быть хорошей
аппроксимацией лишь в слу-
105
чае, если время т0 много меньше, чем характерные времена изменения самой
динамической системы. Однако это условие является необходимым, но
недостаточным.
Для произвольных процессов и полей можно построить метод
последовательных приближений, в котором рассмотренное выше приближение
дельта-коррелированного случайного процесса является первым шагом.
Следующие приближения учитывают конечность времени корреляции т0 и
приводят к системе замкнутых операторных уравнений. Построение такой
