Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кляцкин В.И. -> "Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах" -> 37

Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.

Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах — М.: Наука , 1980. — 337 c.
Скачать (прямая ссылка): stohasticheskieuravneniyaivolni1980.pdf
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 135 >> Следующая


,4.44,
принимает максимальное значение.
В заключение данного параграфа остановимся на двух приближенных
методах решения УЭФ. Один из них называется методом кумулянтных
разложений [34]. Если в УЭФ (1.10) произвести преобразование Фурье по
переменной х, т. е. перейти от плотности вероятностей решения
стохастических уравнений (1.1) к характе-
90
ристической функции
Ф( (%) = <ехр (i XI (l)}> = ехр {(c),(>.)}, (4.45)
и разложить функцию (c)( (X) в ряд Тейлора по X, то для коэффициентов
разложения (т. е. одноточечных кумулянтов случайного процесса | (())
получится бесконечная система нелинейных уравнений. Метод кумулянтпых
разложений соответствует пренебрежению в этой системе уравнений всеми
кумулянтами высокого порядка, начиная с некоторого (третьего -
гауссовское приближение, четвертого - эксцессное приближение и т. д.).
Для оставшихся кумулянтов получается замкнутая нелинейная система
обыкновенных уравнений, позволяющая проследить их эволюцию со временем.
Отметим, что в монографии [34] развит общий метод, позволяющий выписывать
такие уравнения, исходя непосредственно из стохастических уравнений (1.1)
и не прибегая к УЭФ (1.10) или к уравнению для характеристической
функции. Недостатком такого метода является то обстоятельство, что
пренебрежение бесконечным рядом кумулянтов, как хорошо известно, "портит"
распределение вероятностей. Так, в частности, у такого распределения
вероятностей появляются области пространственных переменных, в которых
оно имеет отрицательное значение. Однако, как показывают примеры, для
большого класса задач метод кумулянтных разложений правильно описывает
динамику отдельных кумулянтов. Такой класс задач ограничивается, по-
видимому, задачами, в которых статистические характеристики решения
являются аналитическими функциями по интенсивности случайных воздействий.
Задачи, связанные с неаналитической зависимостью по указанному параметру
(например, задачи о выходе траектории системы из какой-либо области,
задачи о достижении заданной границы), по-видимому, нельзя описать на
основе метода кумулянтных разложений. Ясности в данном вопросе в
настоящее время не имеется.
Остановимся теперь на другом приближенном методе, играющем большую
роль в стохастических колебательных системах, а именно на методе
усреднения по быстро меняющимся величинам. Пусть, например,
стохастическая система описывается динамическими уравнениями
= А (х, ф) + z (t) В (х, ф),
7 (4.46)
= С (.г, ф) + z (t) D (х, ф),
где ф = со0< -f ф (<), а А, В, С и D - периодические функции по
переменной <р. Роль переменной х может, например, играть модуль вектора,
а ф (t) - его фаза. Для системы уравнений (4.46) соответствующее УЭФ
имеет вид дР. (х, (r)) я я
==--^-A{x,^)Pt~ - C(x,^)Pt^-
dt дх ' ' т/ i
д "/ -ч , д ~,12
дх
+ О
¦ В (ауф) + ~D(x, ф)]2 Pt (х, Ф). (4.47)
91
Уравнение (4.47) обычно является сложным для непосредственного анализа
совместной плотности вероятностей.
Перепишем его в виде
дР, (х, <р) . я я
.Apt^-Lrcpt
dt дх Зф
_д_ , w " , , д
дх
0"
О
(в;в н- b-d)+d^o)] р, <*, ф> +
S-ва + 2 -зйф № "¦] р- <*¦ ">• (4'48>
Пусть теперь функции А и С достаточно малы, а также мала интенсивность
флуктуаций z (t). В этом случае статистические характеристики системы
уравнений (4.46) мало меняются за времена <~1/со0. И для изучения таких
малых изменений можно усреднить (4.48) по периоду колебаний всех функций.
Считая, что сама функция Pt (х, ф) при этом не меняется, мы получаем
уравнение
дР.(х,ц>) q_____ я____________
Чг~- =-----------APt----------СР% -
dt дх 1 дц>
_ 1 IР, R а
дх
(Вхв + В-D) -\-DXB | Pj (.г, ф) iF + 2llWSSj-
^3?}P,(x.(p). (4.49)
где чертой обозначены величины, усредненные по периоду колебаний.
Интегрируя (4.49) по ф, получаем для Pt (х) УЭФ
dPt(x) а д
АРt (х) + a* -Z- (ВХВ - B-D) Pt (х)
dt дх ' 1
дх
*-ъгв'-ъгр*ы- (4-5°)
Отметим, что в этом приближении величина х (t) является марковским
одномерным случайным процессом. Если же в (4.49)
BD = DXB.= О, а С = const, D2 = const, то процессы х (t) и ф (t)
статистически независимы и процесс ф (t) является марковским гауссовским
процессом, дисперсия которого линейно растет с ростом t. Это означает,
что при больших t (при С = 0) распределение вероятностей для величины ф
(t) становится равномерным на отрезке [0, 2л].
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 135 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed