Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнение (6.15) является уравнением второго шага описанного
выше метода последовательных приближений. Далее можно либо использовать
предположение о дельта-коррелированности про-1 цесса / (t) (что
эквивалентно аппроксимации импульсной функции? 8-функцией), либо тем же
способом перейти к следующему шагу.
В качестве другого примера рассмотрим уравнение [53]
= i -5- е (х) и (х), и (0) = Uq, (6-17)
где е (х) - гауссовская случайная функция с параметрами
<е (z)> = 0, <е (х)г (х')У = Вв (х - х'). (6.18)
Точное решение уравнения (6.17) имеет вид
X
и (х) = и0 ехр |г ^ dl е (|)|. (6.19)
о
Следовательно, усредняя (6.19), получаем точное выражение для 108
среднего решения стохастического уравнения (6.17):
(и (х).) = щ ехр j - dh dl2B& - |3)| =
О
х
= щ ехр {-^(*-I) Ве (?)} . (6.20)
О
.'Усредним теперь уравнение (6.17) непосредственно:
-jjj (и(х))= ^(е(х)и(х)). (6.21)
Для расщепления корреляции <е (х)и (х)У воспользуемся формулой (2.3.6). В
результате получаем уравнение
(6.22)
о
уже не замкнутое относительно функции <и (х)У, так как оно содержит новую
неизвестную функцию <6it/6e>. Если радиус корреляции процесса е (х) 10 -
>- 0, то уравнение (6.22) будет иметь вид
i <"><*" = 4 !>' ^23)
0
откуда, с учетом равенства
<"•**>
получается уравнение
оо
-^<и1 {х)У = - ^-^dlBz{l){u1{x)'}, (щ (0)> = щ, (6.25)
О
решение которого, в свою очередь, выглядит следующим образом:
оо
<ui (Х)У - ио ехр |--х ^ d?5E(?)J . (6.26)
о
Функция <Ui (х)У представляет собой решение задачи в приближении дельта-
коррелированности процесса е (х) (первый шаг).
Для отыскания решения на втором шаге следует оставить уравнение (6.22)
без изменений и найти уравнение для величины <6и (х)/Ьг (?)>. Варьируя
(6.17) по е (?), получаем уравнение
d Ы(х) • ^ о (х)
Начальным условием для него является условие (6.24):
Ъи (х)
бе (Е,)
и(Е). (6.24')
Усредним уравнение (6.27). Для расщепления корреляции в правой части
(6.27) снова воспользуемся формулой (2.3.6). В результате получаем
i <?i> =+hА ~ Ж> •
<Ш>Ц = '-г<"(r)>' (6'28>
Используя теперь условие дельта-коррелированности процесса е (х) в
уравнении (6.28), получаем на втором шаге
= - Ц'(r)'в>&><тШ> ¦ <?§>L-'-r <"*">•
("2s>
Решение этого уравнения имеет вид
ос
= -f ехР {- -Т (r) S d^B° (Si)} • (6-30)
о
Подставляя выражение (6.30) в (6.22), получаем, что во втором
приближении задача сводится к следующему интегро-дифферен-циальному
уравнению:
-J-<",(*)> =
X оо
= -'¦х 5 dl<u2(l)> BR(x - l)exр j- -?-(х ~Ъ) 5 dr]5e(ri)|, о
о
(6.31)
которое легко решается с помощью преобразования Лапласа. Если, например,
ВЕ = ст| ехр {-а | х - х' | }, то точное решение задачи, первое и второе
приближения имеют соответственно вид
(и (х)} = и0 ехр {- р, [т - 1 + е-т]}, (а)
(ж)> = u0exp {- fit), (б)
<u2 (х)У = [ехр (- цт) - ехр (- -с)], (в)
к^1 42 ,2 2 , 1 о
где т -- а х, |л, = = - 10аЕ, /0 = - - радиус корреляции. Срав-
110
нивая (а), (б) и (в) при т ^>1, легко установить, что приближенные
решения (б) и (в) могут быть хорошей аппроксимацией точного решения лишь
при |o.<g^l. Кроме того, функция (в), в отличие от (б), имеет в нуле тот
же вид, что и точное решение. На рис. 8 приведены функции (а), (б) и (в)
при (д, = 0,2. Отличие второго приближения от точного решения не
превосходит в данном случае
Рис. 8. Сравнение точного решения задачи (6.17) с первым (диффузионным)
и вторым приближениями (О - <"i>/m0, А - <и>/и0, X - <и2у/и0)).
2,5%. Отметим также, что условия применимости первого при-Ьлижения, а
именно р<^1,т!^>1, можно получить, вообще говоря, из сравнения не только
