Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
системы может быть осуществлено следующим образом [20].
Введем фуръе-образ функционала 0/ [ф (ж', т)]:
<=>< Жж'> т)] =
~ 1 = ^ . . . (ас', т) 0( (as', т)] ехр {г ^
di ^ сIx'ty (х' ,x)r\W(x', т)}
о
(6.1)
Тогда уравнение (5.17) для плотности вероятностей решения динамической
системы (5.1) можно переписать в виде дР, (ж) g
-дГ~ =~~д1Т ^ (а5> ^ Pl +
+ ' S Dvt1} 1(1)(*Л х- ц^(х', т)], (6.2)
где функционал Fx [t, х\ т^1) (х', т)] определяется формулой
Fi[t, х; ц^Цх, т)] =
t
= <(ехр {^т (х\ т) т-|б(1 (t)-x)y. (6.3)
о
Оператор, стоящий в правой части (6.3), представляет собой оператор
функционального сдвига по полю /. Следовательно, функционал Fi является
плотностью вероятностей для решения стохастической системы (5.1') и,
согласно (5.16), удовлетворяет уравнению с вариационными производивши
{Ui {} dy Du (х, у, t) (у, t) Fj} +
+ '|"><л'-'т>|' <(r)-4)
Система уравнений (6.2), (6.4) является замкнутой операторной системой с
вариационными производными. Используя снова формулу (6.1), легко
переписать уравнение (6.4) в виде
Цг=='~~Щ ^ ^ - XT Ц dV Di'i (*' У' *) ^ (V' V +
+ ^ ^ ^т1(2) ('ж', т) (r)г И(3) (х'> т)] Ft х\ т1(1) (*\ т) -г ^1(2)
(%'¦' т)1>
(6.5)
106
где функционал F2 является, в свою очередь, плотностью вероятностей для
решения стохастической динамической задачи
= Vi (1, t)+^dy Dij (1, ?/, t) [f} (у, t) + (y, t) + r\f\y, t)].
(6.6)
Далее можно написать уравнение для функционала F2, в которое войдет в
качестве новой неизвестной функции функционал F3, и т. д. Таким образом,
мы получаем бесконечную систему уравнений для функции Pt (ас) и
функционалов Fi, F2, ...
Если теперь использовать предположение о дельта-коррели-рованности
поля / в уравнении (6.2), то возникает описанное выше приближение дельта-
коррелированного случайного процесса, а остальные уравнения системы
оказываются ненужными. Если же в уравнениях для Pf (х), Fi, F2, . . .,
Fn-\ сохранить точный вид функционала 0(, а в уравнении для функционала
Fn использовать предположение о дельта-коррелированности поля /, то
получается замкнутая система уравнений для функции Pt (х) и функционалов
F\, . . ., Fn. Эта система содержит, однако, континуальные интегралы.
Следует отметить, что иногда, например, для гауссовского и пуассоновских
случайных полей функционал St ,т)] выражается через дельта-функционал.
При этом континуальные интегралы легко вычисляются, и мы приходим к
системе уравнений для обычных функций. Вообще говоря, в этих случаях нет
необходимости вводить функциональное преобразование Фурье.
Рассмотрим в качестве примера динамическую систему
?± =v(x) +f(t), x(0) = x0, (6.7)
где v (х) - детерминированная функция, а / (t) - случайная функция
времени. Введем функцию
Фг (х) = б (х (t) - х), (6.8)
для которой получаем уравнение Лиувилля:
~atX) + ~kv(ж) ф( (ж) = ~ ^ iФ" (g)> (6-9)
Фо (4 = 6 (x - x0).
Усредняя уравнение (6.9), для одновременной плотности вероятностей Pt (х)
= <ср; (х)У получаем
^ + = [?бш]д(а:<,)-1)>- (6Л0)
Пусть, например, / (t) - пуассоновский случайный процесс, для которого
функционал 0( [у (т)] имеет вид (см. гл. 1)
t ОС t
0( [у (t)] т= { I Р {*? \dxv (т) g {%' - т)} - l}. (6.11)
О -ОО Т
107
Следовательно, уравнение (6.10) в атом случае можно переписать в виде 9Pt
(х) , д
+ - v(x)Pt (х) =
СС
= - V dllpd) ^dxgtf - x)~F(t, х, 3-, ?), (6.12)
dt дх
I
где функция F определяется равенством
t
F{t, т, х, ?) = </ехр dx'g (т' - т) ф( (жГ> .
(6.13)
t
Поэтому при t х функция F = (8 (х (t) - х)У является плотностью
вероятностей для решения динамической задачи
% = v (г) + / (t) + \g (t - т), 2 (т) = X (т)
(6.14)
и удовлетворяет уравнению
{[у (ж) + lg (t - т)]F} + </(c), б (х (t) - х)у
(6.15)
_9?_____________________д_
dt дх
с начальным условием
F (т, т, я, I) = (а:). (6.16)
