Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
уравнения (5.37). Для дельта-коррелированного случайного процесса 0; [v
(т)] = 0( [v (?)] и, учитывая равенство
д , , >
6z (t)
получаем уравнение
dPt (ж) я
-Щ- = - - f(*,t)Pt(x) + Qt
дх
g(x, t)
Pt(x). (5.40)
Для гауссовского дельта-коррелированного процесса (см. гл. 2)
I
0f [V (Т)] = dx В (т) у2 (т)
(5.41)
и уравнение (5.40) принимает вид УЭФ:
dPlW S AD W I 1 cw л, ^ 5
Для, пуассоновского дельта-коррелированного во времени процесса z (t)
t ОС
(c)(Ит)] = v lj (5.43)
о -ОО
и уравнение (5.40) станет таким: дР. (х) д
-Lr- + jLf{x,t)Pt(x) =
оо
= v{Jj d?p(?)exp^- ")) - lJ^M*)- (5.44)
-ос
Пусть, например, g (х, t) = 1, т. е. уравнение (5.37) выглядит следующим
образом:
J±- = f(x,t) + z(t), х(0) = х0. (5.37')
В этом случае оператор в правой части (5.44) является оператором сдвига и
уравнение (5.44) принимает вид уравнения Колмогорова - Феллера:
dPt (х) dt
со
+ -^f(x,t)pi(x)=v ^ dlp(l)Pt(x~l) - vPt(x). (5.45)
Ранее мы говорили о том, что пуассоновский процесс г (t) с
произвольной импульсной функцией g (t) связан с пуассоновским дельта-
коррелированным процессом z (t) посредством формулы
i
г (t) = j* dx g (t - t) z (t). (5.46)
о
Пусть g (t) - e~"f. В этом случае процесс z (t) удовлетворяет
дифференциальному стохастическому уравнению
s) 2
¦ _==_az + z(it) (5.47)
и, следовательно, как плотность вероятностей перехода, так и
одноточечная плотность вероятностей для него удовлетворяют,
согласно (5.45), уравнению
до ~ дР. (х) ^
-Qf- = Lxp, jt ~LxPt(x),
где
д ,
^ - X + V
{J d?p(?)exp{-? (5.48)
Пусть теперь g (x, t) в уравнении (5.38) имеет вид g (х, t) = х,
101
т. е. уравнение (5.37) записывается в форме
~ = f (x\t) z{t)x(t), х(0) = 2-0-
(5.37")
Тогда уравнение (5.44) выглядит следующим образом:
(5.49)
Вычислим действие оператора в правой части (5.49) в этом случае. Разложим
этот оператор в ряд по | и рассмотрим действие каждого члена разложения
Представляя х в виде ехр ф, формулу (5.50) можно преобразовать
следующим образом (то обстоятельство, что х - знакопеременная величина,
несущественно):
= е-ф {еФ~lPt (е'(~Ц - е^Рt (еФ)} = е~^Р, (e'f-i) - Р< (е^). (5.51)
Возвращаясь теперь к переменной х, легко представить (5.49) окончательно
в виде интегро-дифференциалыюго уравнения типа Колмогорова - Феллера:
Решение многих чисто детерминированных задач в ряде случаев можно
интерпретировать как результат усреднения функционалов определенного типа
по случайной траектории. Такая вероятностная интерпретация может быть
полезна для различных приложений.
Выведем для простейших уравнений условия возможности такой
интерпретации.
Рассмотрим задачу Копти для уравнения
п- 1
СС
(5.52.)
~~ = - q (t, г) и (t, г) + Q (t, V) и (t, г),
(5.53)
и(0,г) = и0 (г).
Наряду с уравнением (5.53) рассмотрим уравнение
= _ q(t,r)q(t,r) + z(t) Vq(t,r), (5.54)
ф(0 ,r) = u0(r),
102
решение которого имеет вид Ф [t, г; z (т)] =
о (г + ^ dxz(x)) exp j- ^ dx q (т, г + \ dx z (т) j|. (5-55)
= и
Будем считать функцию ж (t) случайной функцией, дельта-корре-лировашюп
по t, статистические характеристики которой описываются функционалом 0г
[у (т)]. Усреднил уравнение (5.54). Тогда для <ф) получаем уравнение
-^-<Ф> = -?<Ф> + <0<[' 6
i 6s (г)
ф (t, г
(5.56)
Учитывая теперь равенство
бф (г, г)
6s (t)
= Vq>(t,r),
(5.57)
которое является следствием динамического уравнения (5.54), можно
переписать уравнение (5.56) в виде
at
<ф> = -?<Ф'
<ф>-
Сравнивая (5.58) с (5.53), видим, что
и (t, г) =-= <ф [?, Г] z (т)]>г только при условии
Q (t, V) = в,
4-v
(5.58)
(5.59)
(5.60)
В этом случае выражение (5.59) можно трактовать как запись решения
уравнения (5.53) в виде континуального интеграла. Выражение (5.59) легко
представить в операторном виде, вводя оператор функционального сдвига:
и (t, г) = <ф [t, г; z(x) + v (т)])г |"=0 = t
