Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
взаимодействующих частиц. УЭФ для совместной плотности вероятностей
решения системы (4.26) имеет вид
N N N
ар. (г, р) , т-i в . _ о\л рр,
+ ? (Я, р,)т - 1Iи",Л) = <4'28)
dt _________________ ______________________________ _
_____________________________
1=1 k=i к k=i
где (<р, --------------скобка Пуассона для к-й час-
Y (tm) ; дРк дги дгк дРц
тицы.
Легко проверить, что стационарное решение уравнения (4.28) имеет вид
канонического распределения Гиббса:
Poo(r,p) = const exp |----Н (г, i>)j . (4-29)
Проинтегрировав (4.29) повеем г, можно получить максвелловское
распределение по скоростям, описывающее флуктуации скорости броуновских
частиц. Случай U = 0 соответствует описанию броуновского движения
свободной частицы (4.25).
Если проинтегрировать распределение вероятностей (4.29) по импульсам
(скоростям), то получаем больцмановское распределение по координатам
частицы:
Р" (г) = const exp |---U (г) J . (4.30)
Характерной чертой гиббсовского распределения (4.29) является гауссовость
по импульсным переменным и статистическая независимость координат и
импульсов частиц.
В одномерном случае уравнения (4.26) упрощаются и принимают вид
системы уравнений
dx dy dU (х) . , , ,,, ,, ОА.
-аг = У' -5г = --агг--^+ /(*). (4-31)
стационарное распределение вероятностей для которой имеет вид
Р<х, (я, у) = const exp |-#J , H - -y + U(x). (4.32)
Отметим, что система уравнений (4.31) может возникать и в за-
88
дачах, не имеющих никакого отношения к броуновскому движению частиц.
Рассмотрим, например, следуя [51], систему уравнений
г>0 = - v\ - v0 + R + / (t), vx = vbvx - vv (4.33)
Она описывает движение триплета (гироскопа) с линейным трением,
возбуждаемого силой, действующей на неустойчивую моду, имеющей как
регулярную составляющую R, так и случайную / (t). Если R < 1, то в
отсутствие случайной составляющей силы имеется устойчивое стационарное
решение
vx = О, v0 = R, (4.34)
и флуктуации v0 под действием случайной силы будут описываться
стохастическим уравнением
^о = - v0 + f(t) (v0 = v0 - R). (4.35)
Таким образом, при R < 1 стационарное распределение вероятностей для
компоненты ?0, согласно (4.25), будет гауссовским. Иначе дело обстоит при
R^> 1. В этом случае при / (t) -0 имеется два устойчивых состояния
равновесия:
v0 = l, v1 = + yrR - l. (4.36)
Представим компоненту v0 в виде v0 = 1 + v0. Тогда система уравнений
(4.33) принимает вид
$0 = -vl + (R-i)-v0 + f(t),
Щ = V0vl7 (4.37)
и эволюция компоненты vx определяется ее начальным значением. Если ух(0)
0, то и vx (t) 0. Представляя
как = ехр {ср (^)}, систему уравнений (4.37) можно записать в
гамильтоновом виде (4.31):
ф = ^о= - + (4.38)
\
где U (ф) = -e2Cf - (R - 1) ср.Переменная ср играет роль координаты
частицы, а переменная Т>0 - ее скорости.
На рис. 7 сплошной линией изображено поведение функции U (ф). Функция
U (ф) имеет минимум в точке ф0 = In ]/ R - 1 U (ф0) =-^-(R - 1) [1 - In
(R - 1)], соответствующей устойчивому положению равновесия v} = У R-1.
Таким образом, стационарное распределение вероятностей для ф, v0
аналогично
Рис. 7. График зависимости потенциальной функции U (ф). Штриховыми
линиями обозначены кривая 1
~2 ехр {2ф} и прямая - (R - 1) Ф.
89
распределению Гиббса:
Poolpo, ф) = const exp -^-я} (я = -+ t7 (<р)) . (4.39)
Из формулы (4.39) следует, что при R 1 стационарное распределение
вероятностей для компоненты у0 системы уравнений (4.33) будет
гауссовским:
Ро. (v0) - const exp j- j~2- j , (4.40)
а распределение вероятносте11 для величины ф (t) не является гауссовским,
и они не коррелируют между собой. Возвращаясь к переменной v^t), получаем
для нее стационарное распределение вероятностей в виде
t-1 Г "з )
Рос (i>i) = const vx 02 exp . (4.41)
При критическом режиме (R = 1), как видно из (4.41), не существует
стационарного распределения вероятностей для компоненты vx (t).
Отметим, что если УЭФ (1.10) имеет стационарное распределение
вероятностей Рао(х), то для пего можно сформулировать вариационный
приицип [52]. Запишем УЭФ (1.10), следуя [52], в виде
=- -4 4* <*> р< <*> + 4 °ы -кр> (х>' <4-42)
Введем функции
АI (х) = Dkl (х) -щ- Р0о (х),
г|;t (х) = - In [Pt (х)/Рсо (х)]; ^Л^
тогда легко показать, что на классе решений УЭФ (4.42) функционал
.35 {г|з( (х), (х)} =
= J [¦":} \ + ~-(A, - AS) Р, (ас)) -
