Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
определения 6-функции уравнение
Для расщеплепия корреляции в правой части (5.12) воспользуемся методикой,
изложенной во второй главе. Вводя оператор функционального сдвига по полю
к], последний член в правой части (5.12) можно переписать в виде
Рассмотрим теперь действие оператора б/бт] (у, t) на функцию Pt (х).
Учитывая формулу (5.8), получаем
Следовательно, выражение (5.13) можно переписать в операторном виде:
где введен функционал 0f [ф (х', т)] = In <J>f [-ф (ас', т)]. В
dPt (аз) д
-t- = - - ivi (*. О pt (")) -
г
~ {Sdy Dij (*х'у' ^ r'i tS> Pt ~ ~ {§dy Dil y' ^ ^6
^ ^ ~ ¦ ^A2S>
}>
X
о
Pt(x). (5.13)
0
0
-Pt( x) =
0
= ЧГЫ<exP { S dx $ dx'f т) -Щ&Ъ)}>Pt (*)^
0
Pt(x), (5.15)
95
результате уравнение (5.12) принимает вид дР( (ж) д
dt
дх.
¦{Vi(x,t)P t(x)}
+ 0,
i бт] ("', т)
Pt(
X).
(5.16)
Уравнение (5.16) является замкнутым уравнением с вариационными
производными. Чтобы перейти к плотности вероятностей решения уравнения
(5.1), следует положить в (5.16) т| (х, т) = 0. Учитывая при этом
равенства (5.10) и (5.11), получаем уравнение
дР, (ж) я
= ~ ~дГ{ь'Лх' г)РЛх)) +
dt
в.
г 6/ (а?', т)
6(1 U)
X
(5.17)
Уравнение (5.17) является точным следствием исходного динамического
уравнения (5.1). Статистические характеристики случайного поля / (х, t)
входят в него только через функционал 0*.
В общем случае уравнение (5.17) не замкнуто относительно функции Pt
(х), так как величина, стоящая под знаком усреднения в правой части
(5.17), определяется зависимостью доведения решения ? (t) от случайного
поля / (х', %') для всех моментов времени 0 t. И только в случае
дельта-коррелированности по-
ля / (х, т) (см. вторую главу), когда выполняется равенство
0г [г|з (хт)] = 0( [г|5 (х\ *)],
(5.18)
уравнение (5.17) принимает форму замкнутого уравнения. В этом случае,
согласно (5.18),
0,
; бf (ж', т)
i бf (ж', t)
6(ж - lit))}-
Учитывая теперь равенства (5.10), (5.14), можно переписать уравнение
(5.17) в виде
дР, (я>) я
= ~~д:-{Vi(K,t)Pl(x)} +
dt
ч-е(
i- DH(x, х, t)
Pt(x), (5.19)
Ро (х) = б (х - So)¦ Уравнение (5.19) является замкнутым операторным
уравнением относительно функции Pt (х), конкретный вид которого
определяется видом функционала 0г, т. е. характером случайного поля /.
С помощью уравнений (5.17), (5.19) можно написать и динамическое
уравнение для средних характеристик решения уравнения (5.1). Чтобы
получить уравнение для величины <F (| (t))), где
96
F (x) - произвольная функция, следует умножить уравнение
(5.17) на F (х) и проинтегрировать по х. В результате получаем уравнение
вида
= "(I. <)> -I- <", [W,bq-] Г (S "">. (5-20)
которое для дельта-коррелированных флуктуаций поля /принимает вид
= "(!(""> + <", [ .6г ("¦¦¦) ]"№)>¦ Р.20')
В общем случае уравнение (5.20') не замкнуто относительно функции (F
(|)>.
Отметим, что операторный член в правой части (5.20), (5.20') формально
не зависит от вида случайного члена в уравнении (5.1) и представляет
собой среднее значение действия конкретного оператора на функцию, среднее
значение которой ищется. Конкретное вычисление действия этого оператора,
конечно же, связано со структурой случайного члена в уравнении (5.1). Это
обстоятельство очень полезно для практического нахождения различных
средних характеристик. Процедура написания соответствующего уравнения для
среднего значения какой-либо величины состоит из четырех шагов:
1) с помощью стохастических уравнений определяются вариационные
производные решения уравнений по флуктуирующим параметрам, взятым в тот
же момент времени;
2) пишется динамическое уравнение для самой величины в случае
отсутствия флуктуаций;
3) полученное на втором шаге уравнение усредняется, и в правую
часть добавляется операторный член, представляющий собой
среднее значение действия оператора 0(
J б/ (ж', t)_
на величину,
среднее значение которой ищется;
4) с помощью результатов первого шага устанавливается ре-, зультат
действия оператора.
Отметим, что само уравнение (5.17) является уравнением вида
(5.20) для функции
Фг (х) = 6 (х -Ц (г)),
(5.21)
которая, согласно (5.1), удовлетворяет линейному стохастическому
уравнению в частных производных
9ф((а,) д , /
-дГ~ = - г)ф/(*)> -
- ~k~\dV (*• У* *) fi (tf > *) ф f (Ж) (5-
22)
97
с начальным условием
фо (ос) = 8 (ж - ?"). (5.23)
Уравнение (5.22) является стохастическим уравнением Лиувил-ля. Чтобы
получить уравнение для среднего значения <фг (х)У =
- Pt (х), следует, согласно описанной выше методике, определить значение
