Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Отметим также, что УЭФ (4.49) соответствует приближению дельта-
коррелированности процесса z (t), т. е. параметр о2 =
1 °°
" Т I dx В (т)> и в этом случае одним из условий его применимо-
- оо
сти является условие со0т0<§^ 1, где т0 - радиус корреляции процесса z
(t). Однако для задач, связанных с методом усреднения по быстро
меняющимся величинам, это ограничение можно снять, используя условие
дельта-коррелированности не для самого
02
процесса z (t), а для процесса ? (t) = z (t)eia*К В этом случае
<? (t) I (t + т)> = В (т) exp {ш0т + 2iti)0t} =
= 2а2 exp {2i"t0t} б (х),
Оо
где а2 = - j dx В (х) cos со0т. При этом УЭФ (4.49) сохраняется.
- Оо
Более подробно этот вопрос будет рассмотрен на примере задачи
о двухпроводной линии (см. § 6 гл. 7).
§ 5. Обобщение на случай негауссовских флуктуаций
параметров
Рассмотрим теперь те следствия, которые проистекают из-за отказа от
предположения гауссовости случайного поля / (х, t) в (4.1). Наряду с этим
рассмотрим и более общее уравнение вида
= l(0) = lo (5.1)
(по повторяющимся индексам, как и ранее, предполагается суммирование),
где Vi(x, t), Dtj (х, у, t) - детерминированные векторная и тензорная
функции, а / (х, t) - случайное векторное поле. Частными случаями системы
уравнений (5.1) являются:
1) Dij (|, у, t) ~ Dtj (у, t). Тогда, вводя новые случайные
функции времени по формуле
= Dil{y,t)f-)(y,t), (5.2)
можно переписать (5.1) в виде системы уравнений
d%.
-?- = MS.*) + Zi(*). 1 (0) = ioi (5.3)
описывающей движение нелинейной системы ? (t) под действием случайных во
времени сил.
2) Dtj (|, у, t) = 8и8 {у - 1 (t)). При этом (5.1) переходит в
систему уравнений (1.1), описывающую движение нелинейной системы | (t)
под действием случайных сил /г (| (t), t), зависящих от точки фазового
пространства самой системы.
3) Если в уравнении (1.1) ввести фурье-образ по пространственным
переменным, то мы приходим к уравнению вида
= 0 + 5 <frtfi(x, 0exp {ixl(f)b (5.4)
соответствующему уравнению (5.1) при выполнении условия
Da (t, У, t) = 8tj exp {i%y}. (5.5)
93
И наконец,
4) Dij(l, t/, t) = Di; (I, t). В этом случае, вводя обозначение
fj (t) - j dy f} (y, t), получаем у
сравнение
dl,
= и4 (|, *) + Д4; (I, *)/;(*). 5(0) = ?",
(5.6)
описывающее параметрическое воздействие случайных параметров / (t) па
динамику нелинейной системы | (?).
Существенными особенностями системы уравнений (5.1) (так же как и
(1.1)) являются два фактора. Это, во-первых, то обстоятельство, что
случайное поле f(y, t) входит в (5.1) линейным образом, и, во-вторых, то,
что для (5.1) выполняется условие причинности
6Е. (t)
пф<Г = 0 К°'О0.
(5.7)
Что же касается значения вариационной производной (ус, х)
при т = t, то, как и при выводе равенства (1.3), получаем
ЬЪ (t)
-bfi"tj = Dik{Ut),x,t).
.(5-8)
Так как решение уравнения (5.1) в момент времени t зависит от случайного
поля / (ас, т) лишь для времен 0 ^ т ^ t, все статистические
характеристики решения в момент времени t будут определяться
статистическими характеристиками поля / (ж, т) при О "С t, которое
полностью описывается характеристическим функ ционалом
t
Ф( [i|) (ас', т)] = <^ехр ji ^ dx ^ dx ij; (ас', т) / (ас', т))у>
• (5.9)
о
Для статистического описания системы (5.1) запишем вспомогательное
уравнение:
-аг = ъ(Ъ> *) + ^ dv Du& V' 0 [/Лгл t) + л;(з/. *)]• (5.1')
Уравнение (5.1') отличается от (5.1) введением новой произвольной
детерминированной функции т| (у, t). Решение уравнения (5.1') переходит в
решение уравнения (5.1) при т] -0. Решение уравнения (5.1') является
функционалом от / +т|. Отсюда вытекает ра-в енство
61-(t) 6l-(t)
-41-'- -
(5.10)
6/?(as,T) 6^(05, т)
v
Введем одновременную плотность вероятностей для решения уравнения
(5.1'):
Pt (ж) = <S (I (t) - х)>,
(5.11)
94
где | (t) - решение уравнения (5.1'), соответствующее определенной
реализации / (ас, t), а усреднение производится по множеству всех
реализаций /. Отметим, что функция Pt (ас) является функционалом от поля
т] (х, т). Дифференцируя (5.11) по t, получаем с учетом (5.1') и
