Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
вариационной производной 8tpt (,к)/8/,• (х', t) (для дельта-
коррелированных полей /), которая имеет вид линейного оператора
а'= ~ Dki (3g'Х>'t} ф( {Х)' (5'24)
в результате мы приходим к уравнению (5.19).
Рассмотрим теперь m-временную плотность вероятностей для решения
уравнения (5.1):
ёРт&ъ h\ . . .; xm,tm) = <6(|(fi) - хл). . .b{l(tm) - хт)). (5.25)
Пусть ti < t2 с . . . < tm-1 < tm. Дифференцируя (5.25) по
tm, а затем используя динамическое уравнение (5.1) и расщепляя корреляции
описанным выше способом, получаем для дельта-кор-релированного во времени
поля / уравнение
-ti (^1, tl, . . .J Xni, tin) -f- {v (xm, tm) 0^ш} =
m m
:0(
m (ЗС1, ti] . . Xm,
trfi). (j.26)
(Здесь суммирование по индексу т jjе производится.) Началыгое условие для
(5.26), как следует из (5.25), имеет вид1
3^шп (^1? tli • • •) Жт-i, tm-1" Жт1 tm-i) =
1 1 & (xm-i п) т-1 {Ж1, • • • ?
fflm-li tm-i)* (5*27)
Решение уравнения (5.26) с начальным условием (5.27) можно ис-
кать в виде
3^т. (Xi, ti, . . .J Xmi ^т) -
= p (Xmi tjn | Жт-ii trn-i) m-l {^1, ^1? • ¦ • j №m-i, tm-i)-
(5.28)
Учитывая теперь, что все дифференциальные операции в (5.26) относятся к
хт, tm, и подставляя (5.28) в (5.26) и в (5.27), получаем уравнение для
плотности вероятностей перехода (обозначаем хт, tm через х, t и xm-i, ?m-
i через х0, t0)
р (х, t | Х0, to) + {V (х, t)p} =
= ё(
iq^-Dn{x,x',t)
p(x,t\x0,t0) (5,29)
98
с начальным условием
Р О", t0 | ас0, tg) = 6 (ж - хд).
(5.30)
Путем повторного применения формулы (5.28) находим равенство 9^т (*Ъ .
* * г Хт1 tm) =
= P{Xm, tm | *,71-1, *m-l) • • ¦ P(X 2, t2\xu ti) Ph{Xi),
(5.31)
где Pu (acj) - определяемая уравнением (5.19) плотность вероятностей,
относящаяся к одному моменту времени. Выражение (5.31) для многовременной
плотности вероятностей через произведение плотностей вероятностей
перехода р означает, что случайный процесс § (t) является марковским
процессом (см. гл. 1). Таким образом, мы можем усилить утверждение (2.8)
[20]:
Если нелинейная динамическая система описывается уравнением (5.1), в
котором случайная "сила" f (х, t) является дельта-коррелированным во
времени случайным полем (т. е. ее характеристический функционал
удовлетворяет ра- (5.32) венству (5.18)), то случайный процесс 1 (t)
является марковским процессом, описывается уравнениями (5.19), (5.29) и
равенством (5.31).
При этом существенную роль играет условие причинности (5.7), вытекающее
из самого уравнения (5.1) и начальных условий к нему.
Если случайное поле / (х, t) является гауссовским дельта-кор-
релированным по t случайным полем, т. е. его характеристический
функционал имеет вид
0,[^(ж\т)] =
t
=-----Y ^ dr ^ dx1 dx"Bij (ас', x", т) % (ас', т) ij)j (ас", т),
(5.33)
о
то уравнение (5.29), так же как и (5.19), принимает вид УЭФ:
p(x,t\ ас0, t0) + ~ {v (х, t)p} =----y 5 dx dx?B-%i (ас', ас", t) X
X |Аг (х, ас', t) [Dl} (х, ас", t)p]|.
(5.34)
Уравнение (5.34) переходит в УЭФ (2.5), если положить Di}(x, y,t) = 6,6
(г/ -ас)
(В^ (ж, ас', t) = ЪЬ\) (х, х', t)).
Аналогично случаю нахождения одновременных характеристик функции F(1
(t)), легко можно найти уравнение для средних величин, взятых в разные
моменты времени. Так, например, чтобы
найти уравнение для величины F(%(t), %{t')), где
надо
уравнение для двухвременной плотности вероятностей (acj, ti,
99
x2, t2) умножить на F {хи зе2) я•праивггйгрй.ровать по щ, х2, В
результате получаем уравнение
dt
¦<^(S(0.S(O>=
/ df (I (<), 1 (*'))
"(!(*))
e,
. i 8 f (x\ t) _
F (КО, 1(0) > (5.35)
\ <>l (t) с начальным условием при t = t'
<F (1 (t), I (*'))> | t=r = <F (1 (O, 1 (*'))>, (5.36)
где функция <F (1 (?'), | (i'))>, связанная с одновременной плотностью
вероятностей, удовлетворяет уравнению типа уравнения
(5.20').
В качестве иллюстрации изложенной теории приведем несколько
примеров.
Рассмотрим одномерное стохастическое уравнение
-%f- = f(x,t) + z(t)g(x,t), х(0) = х0, (5.37)
где fug - детерминированные функции, a z (t) - случайная функция
времени. Вводя функцию срг (х) = б (х (t) - х), получаем для нее
стохастическое уравнение Лиувилля вида
d(ft(x) - д f(x,t)<pt(x) - z(t)-^g(x,t)qt(x). (5.38)
dt
дх
Усредним уравнение (5.38) по ансамблю реализаций функции z (t). В
результате получаем дР, (X)
¦О,
i б2 (т)
Фг(*)/> .
(5.39)
dt dx
где Pt (х) = <ф( (х)У - одновременная плотность вероятностей решения
