Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
откуда вытекает pmm=^-^nexp(k(b4))
Л= -1
^Ь~Г ¦ ехр (- (bfb)). (8.66)
т\
Таким образом, для полной когерентности необходимо, чтобы диагональные
матричные элементы ртт имели распределение Пуассона.
Следует отметить, что результат (8.57) имеет прямой аналог в обычном
классическом рассмотрении функции Г+'т). Нетрудно видоизменить изложенный
вывод (или дать ему иную интерпретацию) и показать, что условие
когерентности первого порядка |у| = 1, или
|Г(1'V г/) Г = Г(|' °(х, х)Г у), (8.67)
§ 2. ПОЛНАЯ И ЧАСТИЧНАЯ КОГЕРЕНТНОСТЬ
235
приводит к соотношению Г .,., хП1 хп+1, ,.., хп+т) =
п п+т
= Vn,AIV*(xk) II V(xd (8.68)
k = \ Ып+1
с некоторой функцией V(x). Здесь коэффициенты
/ *я т\
\У V )
(8'69)
определены с помощью некоторого классического ансамбля для одной
комплексной переменной и. По аналогии с (8.58) можно написать
Г(га' п) (хь хп; хп+и х2п) =
п 2 п
= Yn П V (xk) II V (*,), (8.70)
k=\ 1 = П+1
где величины
являются, очевидно, действительными положительными коэффициентами. Если
же положить X = v*v и ввести определение (при соответствующем 0)
оо
(Хп) = J Хпо (X) dX, (8.72)
о
то Yn = (Хп)/(Х)п. Отсюда следует, чт
V"-J1 0 х Г (X) \ 1 (X)" ¦ о (X)dX^
оо >/(¦ 0 х г (X) \ 1 (Х)п о (X) dX -
оо -/(¦ 0 X s {X) \ if 1 \ (ХУ г - 1) о (X) dX -
оо -к 0 г (X) > И*) dX = 0,
^8.73)
236
ГЛ. 8. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
т. е. уп образуют неубывающую последовательность
1 =Yi<Y2<Y3< ••• •••• (8-74)
В силу этого свойства обычное классическое рассмотрение, очевидно, не
может дать адекватного описания скоростей отсчетов для всех когерентных в
первом порядке полей. Действительно, как мы уже видели, если в таком поле
содержится не более т фотонов, то gn == 0 для всех п > т, что находится в
прямом противоречии с требованием Yn ^ 1 при всех п.
Необходимо отметить одно важное обстоятельство: при получении соотношений
(8.58) [или даже их классических аналогов (8.70)], вытекающих из условия
когерентности первого порядка, существенное значение имеет тот факт, что
G {х, y)=V* (x)V{y) во всем пространстве или что = z'kzl для всех мод.
Если эти соотноше-
ния известны лишь приближенно, то простая запись типа (8.58), вообще
говоря, невозможна. Предположим, например, что вместо (b\b^ = Q [ср.
(8.51)] имеем
(btb2) = е> (8.75)
где е - произвольно малое, но положительное число, например е = 10-137.
Что касается заселенности второй моды, то матрицу плотности можно взять в
виде
оо
р = а|0)(0]+р У \\п2){п2\. (8.76)
n2= 1
Здесь аир выбраны так, чтобы выполнялись соотношения Sp(p)=l и Sp (р&гФг)
= е; это означает, что р - малое (~е), но положительное число. Тем не
менее
выражение для q(%2) [или ${2'2)] содержит член
оо
Sp {р {b\f bl) = - е + р ~ = оо. (8.77)
П2 = I
Следовательно, вклад второй моды, будучи совершенно незначительным в
корреляционной функции G<'. ч, полностью доминирует в G'2- 2> и во всех
корреляционных функциях высшего порядка. Это, очевидно,
§ 2. ПОЛНАЯ И ЧАСТИЧНАЯ КОГЕРЕНТНОСТЬ
237
нарушает справедливость общего результата (8.58). Если не исключить все
примеры аналогичного типа на основании физических соображений1), то для
определения корреляционных функций высших порядков трудно предложить что-
либо другое, кроме прямых измерений.
Степени когерентности. В заключение приведем ряд определений, которые
использовались различными авторами при рассмотрении частичной
когерентности. Глаубер [8.2] ввел ряд нормированных корреляционных
функций
г,(п-п)(г Y \
(хи х2п) = -4------------------------. (8.78)
II xj'2
k= i
Здесь мы можем рассматривать функции как квантовые обобщения классической
комплексной степени когерентности у. Если GC¦ (л;, л:) =0 для некоторого
значения х, то числитель тоже обращается в нуль; в таких случаях мы будем
определять gиз условия непрерывности (если это окажется возможным). Из
(8.35) с очевидностью вытекает, что выполнение условия
\g^{xb .... X2J|=1 (8.79)
для всех значений аргументов и всех п обеспечивает полную когерентность
поля. Вместе с тем из (8.58) следует, что для поля, когерентного в первом
порядке,
| g(n)(xu ..., x2n)\ = gn (8.80)
при любых значениях всех координат. Выше при рассмотрении очень важного
примера, а именно случая
') В этой связи надо отметить следующее. Пусть в математическое ожидание
случайной величины х вносят основной вклад "далекие хвосты" функции
распределения, полная вероятность которых ~е < 1. (В приведенном выше
примере х = b22b2-) Тогда достоверное измерение этого математического
ожидания требует чрезвычайно большого числа опытов, N 3" 1/е. (Более
строго: N > (Дх2) / (х)2.) Поэтому само утверждение о существовании
такого среднего (в приведенном примере (х) = G<2.2) = оо) не поддается
экспериментальной проверке с помощью конечного числа опытов А'о < 1/е и,
следовательно, носит нефизический характер. - Прим. перев.
238
ГЛ. 8. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
хаотического поля, которое обладает когерентностью первого порядка, мы
видели, что g" = п\, следовательно, функции не обязательно должны быть
