Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
определенный момент, скажем при / = 0. Если средние значения, взятые по
состоянию р, удовлетворяют этим требованиям согласованности, то поле
излучения полностью когерентно во всем пространстве и в любой момент
времени.
Приведем в заключение еще одну форму условия полной когерентности.
Замечая, что Gl1- х\х, х) = V*(x)V(x),
') В оптическом диапазоне, безусловно, практически наиболее удобно
получать именно такую информацию. Это связано с тем, что с помощью
доступных схем даже с наносекундными (10~9) временами разрешения трудно
определить что-либо, кроме поведения огибающей сигналов с несущими
частотами порядка 1015 гц. (Приведенное утверждение относится лишь к
простым счетчикам. Системы, использующие биения изучаемого света с
сигналом от оптического гетеродина, в принципе позволяют измерять фазу
оптического колебания даже при сравнительно плохих временах разрешения
электронных схем. - Прим. перев.)
228
ГЛ. 8. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
сразу же получаем соотношение
2 п
| Gin' п> (xh х2, х2п) Г = II G(l' 0 (хк, хк), (8.35)
*=i
выполняющееся при всех /г. Ниже мы покажем, что это условие влечет за
собой выполнение (8.32) и что, таким образом, эти два условия
эквивалентны.
Б. Частичная когерентность
Если условие (8.32) не удовлетворяется, то мы имеем частичную
когерентность того или иного рода. Было бы идеально, если в каждом таком
случае мы могли ввести определенный параметр, характеризующий степень
когерентности, подобно тому, как это оказалось удобным при рассмотрении
двухщелевого интерференционного опыта. Однако в настоящее время ни одно
из конкретных определений не является универсальным в этом отношении,
Нельзя надеяться, что с помощью одного или нескольких параметров удастся
отразить сущность всех форм частичной когерентности, которые могут
проявляться во всех возможных экспериментах.
Когерентность первого порядка. Тем не менее интересно обсудить следствия
одного особенно любопытного случая, когда имеет место нечто меньшее,
нежели полная когерентность. Выше мы определили свойство относительной
когерентности как такое, для которого выполняется ряд критериев свойства
когерентности (но не обязательно все). Следуя Глауберу [8.2], будем
говорить, что поле излучения имеет "когерентность первого порядка", если
известно, что для некоторой функции V(х) и при всех х и у выполняется
соотношение1)
G(U)(*, y) = V'{x)V{y). (8.36)
') Следует отметить, что экспериментатор, вооруженный интерферометром (а
не фотосчетчиками), может извлечь информацию лишь о G(1' П. Если он
обнаружит, что соотношение (8.36) выполняется, то будет считать (в той
мере, в какой он может судить об этом) поле "полностью когерентным" в
соответствии с нашим определением.
§ 2. ПОЛНАЯ И ЧАСТИЧНАЯ КОГЕРЕНТНОСТЬ 229
Выясним теперь, что можно получить, рассматривая корреляционные функции
G<n' высших порядков. Обсуждение этого вопроса начнем с соотношения
| G(I'V у) f - G(l' 0 (х, х) G(1' [)(у, у), (8.37)
являющегося прямым следствием соотношения (8.36). Для простоты
обозначений будем писать здесь G вместо G6- '). Покажем сначала, что в
действительности и (8.36) следует из (8.37). Если положить
G (х, y) = ew(x-v)+i(f<x'V) = G,(y, х), (8.38)
где w и ф - действительные функции, то из (8.37) получим
(r)(х, y)=j[[w(x, x) + w{y, у)].
Следовательно, вводя обозначение В (х)-~ ехр [xl2w{x, х)], можно написать
G (х, у) = В (х) В (у) егф <*' у) = <Л(-) (х) Л(+) (у)). (8.39)
В силу основного определения G(x,y) удовлетворяет условию (для всех
конечных сумм с произвольными коэффициентами Си)
S c)ckG (х хк) = S с)скВ (х;.) В (хк) ехр [йр (хр хк)\ =
и k 1, k
= 2 d*dk ехр ["p(x., Xk)] > 0, (8.40)
/, *
так как приведенное выражение есть среднее значение положительного
оператора. Для любого конечного набора точек матрица М с элементами
ЛДд=ехр [iq>(Xj, хк)] эрмитова и положительна, и каждый из элементов
удовлетворяет условию |A4j/,|5sl. Взяв эти условия для трех произвольных
точек (т. е. для соответствующей матрицы размерностью 3X3), получаем
Mi2M2zMzx = 1, так как в противном случае мы имели бы det(M) = =
2Re(M12M23^3i - 1)<0. Но это условие означает, что для трех произвольных
точек должно выполняться соотношение
ф(х, у) + у{у, г)+ф(г, х) = 0; (В.41)
230
ГЛ. 8. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
это, как мы покажем, налагает жесткие ограничения на вид функции ф (х,у).
Если при фиксированном г положить а2 (у) = -ф (у, г), то
(р{х, у) = а,{у)-аг(х). (8.42)
В свою очередь аг(у) отличается от а0(у) (т. е. от аг
при г = 0) на константу, так как разность
аг(у) - ао(у) = аг(о) не зависит от у. Иными словами,
существует действительная функция а (у) = а0 (у), определенная однозначно
(с точностью до аддитивной константы) соотношением (8.41), так что ф (х,
у) = = а (у) -а{х). Отсюда следует, что
G (х, y) = B(x)B(y)e-'laM-aW = V,{x)V(y). (8.43)
Заметим, что с помощью этих соображений мы не можем определить величину
а(х) (даже с точностью до константы), но можем сделать вывод, что она
