Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
предположение о том, что мы имеем дело с фотонами с заданной поляризацией
е. Пусть нас интересует амплитуда перехода, отнесенная к квадрату
временного интервала для процесса поглощения фотона в (пространственно-
временной) точке T\t\ и поглощения другого фотона в точке Г2^2- По
существу это совместная плотность вероятности появления двух событий.
Короче говоря, речь идет об описании корреляционного опыта типа
известного эксперимента Хэнбери Брауна и Твисса. Соответствующий
матричный элемент имеет вид
<ЛЛ(+)(г2, t2) Ai+) (rb f,)U>- (8.3)
С помощью соображений, аналогичных изложенным
выше, приходим к следующему выражению для интере-
§ 1. КВАНТОВЫЕ КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ 215
сующей нас скорости переходов:
(г| Л(-) (гь /,)Л(_)(г2, t2) Л(+)(г2, t2) Л(+)(гь ti) [ г). (8.4)
Поскольку все положительно-частотные операторы А(+) (г, t) коммутируют
между собой [так же, как и сопряженные им операторы А<-)(г, /)], взаимный
порядок двух множителей с индексом ( + ) [как и двух множителей с
индексом (-)] не существен. Важно отметить, однако, что рассматриваемые
операторы стоят в нормальном порядке-, все операторы рождения расположены
слева от всех операторов уничтожения.
По аналогии с опытом по двухфотонным совпадениям можно рассматривать, по
крайней мере в принципе, опыты с n-фотонными совпадениями, в которых
измеряется совместная вероятность того, что п фотонов, каждый с вектором
поляризации е, были поглощены в точках rk, th, k = 1, ..., п. По аналогии
с предыдущим получаем для искомой вероятности выражение
(/| II A(-\rk, tk)f[ Л(+,(гь (8.5)
k= i /= i
которое, очевидно, снова является средним значением нормально
упорядоченного оператора. Подчеркнем, что из-за некоммутативности
операторов Л<+> и Л<~' это выражение, вообще говоря, отличается от
<ЛП М("'(г*, tk)A<+)(rk, tk)}\i). (8.6)
k~\
Произведем теперь еще два непосредственных обобщения основного выражения
(8.5). Первое связано с рассмотрением фотонов различных поляризаций. Если
обозначить декартовы компоненты поперечного вектора-потенциала индексом
/, то вся возможная информация о поляризациях содержится в выражении
<ЛП A{~\rk, gll Л'+Чн, (8.7)
k=Iй I = \ L
являющимся тензорным обобщением выражения (8.5).
Теперь в действительности компонента jh играет такую
216
ГЛ. 8. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
же роль, как и переменные rft, 4> поэтому тройку переменных (гь, 4, jh)
удобнее сокращенно обозначать одной индексной переменной xh. Имея это в
виду, запишем выражение (8.7) в более простой форме
(/|П Л(-} (хА)П^<+> (^/)|/>- (8-8)
к =1 1=1
Заметим, наконец, что (8.8) есть в действительности совместная плотность
вероятности при условии, что в качестве начального состояния системы было
задано чистое состояние. Если начальное состояние точно не известно, то
необходимо произвести усреднение по возможным начальным состояниям. Как
показано в гл. 5, в результате мы приходим к обобщению выражения (8.8):'
(II Л{~} (xft)II Л(+) (хг)) = Эр{ рЦ Л(->(х*)П Л<+) (*,)],
4=1 /= 1 I к=1 1=1 )
(8.9)
здесь р - матрица плотности, отвечающая начальному состоянию.
Распределенные детекторы. Приведенные выше соображения можно обобщить на
тот случай, когда идеализированные счетчики непосредственно чувствительны
не к самому полю в точке г и /, а к значению поля, усредненному по
пространственному и временному интервалу. Как и в гл. 3, можно
предположить, что k-и детектор реагирует на эффективное поле,
определяемое, например, следующим образом:
А{е+)(Х)^ 4+)эФФ(г, /) =
= 5 J ~ Г ' Л^) d*X' dt'- (8'10)
Здесь тензор S//'- обобщенный адмитанс^-го детектора, который "пробует"
поле в различных точках пространства и времени и определяет таким образом
"эффективное поле". Для таких счетчиков искомая вероятность от-
§ 1. КВАНТОВЫЕ КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ
217
счетов п-го порядка, отнесенная к п-й степени временного интервала, по-
прежнему дается выражением типа
(8.9). Однако каждый оператор снабжен теперь индексом е, что в силу
(8.10) отвечает учету свойств детектора. При таком обобщении можно учесть
и то обстоятельство, что каждый из детекторов имеет различный адмитанс.
Из линейности соотношения (8.10) следует, что все свойства для счетчиков
любого типа содержатся в корреляционных функциях
G {Х\, ^2, . . ., Хп, Хп+], Хп + 2, • • Х2П) =
где каждая полевая переменная имеет свой собственный аргумент. Зная эти
корреляционные функции и соответствующие адмитансы детекторов, можно
вывести все выражения для скоростей счета n-фотонных корреляций. Легко
убедиться и в обратном, а именно показать, что функции (8.11) можно
извлечь из информации о скоростях отсчетов при всевозможных расположениях
счетчиков. Короче говоря, функции в (8.11) при всех
аргументах хи ..., х2п и для всех п можно рассматривать как информацию о
поле излучения, которую можно непосредственно извлечь из опытов по
многократным фотонным совпадениям. Все эти выражения представляют собой
средние значения нормально упорядоченных произведений операторов, причем
