Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Клаудер Дж. -> "Основы квантовой оптики" -> 61

Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.

Клаудер Дж., Сударшан Э. Основы квантовой оптики — М.: Мир, 1970. — 430 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovikvantovoyoptiki1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 129 >> Следующая

когерентных состояний можно воспользоваться соображениями аналитичности.
Те же аргументы применимы, очевидно, и для случая нескольких степеней
свободы, а также и для конечного числа из бесконечного множества степеней
свободы в проведенном выше рассмотрении. Мы хотим, однако, заострить
внимание на полном правильном подмножестве состояний другого вида,
которые возникают лишь в случае бесконечного числа степеней свободы.
Пусть известно, что
Ф ({**.*}) = О (7.142)
для всех {Zk} и для всех М, т. е. для всех усеченных последовательностей.
Тогда для произвольного состояния |{Zfc}) отсюда следует
I ({z/J IФ) КI <{zfe, м} I ф> I + | "{zft} | - <{zk, м) |) | ф) |<
<lll{Zfe})-|{zfe,vn}> НИФ) IK
г "= I '/4
<2|Иф)|Ы|{гД|Г2- 2 \гкП . (7.143)
+ l J
Последняя величина при достаточно больших М может быть сделана сколь
угодно малой. Короче говоря, из (7.142) вытекает, что ф({гД), а
следовательно, и |ф) обращается в нуль для всех последовательностей {гД.
Нетрудно сформулировать более общее утверждение, состоящее в том, что |ф)
определяется значениями
200 ГЛ. 7. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПО КОГЕРЕНТНЫМ СОСТОЯНИЯМ
Ф(Ы) для любого множества последовательностей {2/J, которое плотно в 3-
"Разложение единицы". Перейдем к обобщению нашего обычного разложения
единицы по когерентным состояниям на случай бесконечного числа степеней
свободы и к определению соответствующего скалярного произведения для
функционального представления. По аналогии с (7.118) и (7.119)
естественно было бы ожидать, что искомые соотношения запишутся следующим
образом:
I = | I {?,}) (Ы I d\i ((zj) (7.144)
и
(Я, | ф) = J (Я | {2*}) ({2ft} | ф) й\1 ({гк}). (7.145)
Однако в написанном виде эти соотношения совершенно не определены, так
как здесь необходимо вычислять интеграл по бесконечному числу переменных.
Из интуитивных соображений следует, что должно выполняться соотношение
(Я I ф) = lim I" (Я I {г*, уц}> <{zfti м} | ф) d\i ({zkt ^J), (7.146)
М-^оо J
где
м
dy-({zk,M}) = d2zk. (7.147)
k=\
Интуитивное обоснование соотношения (7.146) состоит просто в следующем.
Поскольку мы имеем дело лишь с непрерывными функциями ({2ft} |ф) и т. д.,
всякая функция, как отмечалось выше, полностью определяется своими
значениями на плотном подмножестве. Интеграл (7.146) определен просто как
предел последовательности интегралов, у которых подынтегральные выражения
вычислены на плотной последовательности при М, становящемся сколь угодно
большим.
Суть доказательства соотношения (7.146) можно сформулировать так. Введем
сначала последователь-
§ 4. БЕСКОНЕЧНОЕ ЧИСЛО СТЕПЕНЕН СВОБОДЫ 201
<K}lpJK}> = exP
ность проекционных операторов Рм, М = 1, 2, каждый из которых
определяется свойством
оо М
~ IX (\zk\2 + \z'k\2) + ljz>k
4 = 1 4 = 1
(7.148)
Грубо говоря, это означает, что Рм есть оператор проектирования на
основное состояние для всех степеней свободы с k > М. Отсюда ясно, что
РмРм' = Рм'Рм - Рм при М X М' и что
lim Рм = /. (7.143)
Af-"oo
Далее, прямые вычисления гауссовых интегралов дают
J <K}IK.")><k.v,]l (ЩЖк,Щ)=<М1ДЖ}>
(7.150)
в силу определения (7.148). Согласно стандартным теоремам, отсюда
следует, что
Р
м = / I {Zk, м)) ({Zk, м) I d\L ({;zk, м}). (7.151)
Следовательно, для произвольных |\]з) и \к) имеет место равенство
<А, 1 -ф) = lim (Я|/Эж|г(з) =
М-> оо
= lim I (Хк*,ж})({2г,уи}1^)Ф ({24,31}), (7.152)
М~>оо J
что и доказывает справедливость соотношения (7.146). Наконец, сопоставляя
(7.149) и (7.151), мы видим
/= lim I \ {zk,M}) ({zk,M}\dii({zk,M}); (7.153)
М оо J
такой вид принимает наше обычное разложение единицы в данном случае.
Соотношения (7.152) и (7.153) и являются обобщениями соотношений (7.119)
и (7.118) на случай бесконечного числа степеней свободы. В качестве
сокращенной записи точных предельных соотношений мы часто будем
использовать просто (7.144) и
202 ГЛ. 7. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПО КОГЕРЕНТНЫМ СОСТОЯНИЯМ
(7.145), смысл которых определяется точными соотношениями (7.153) и
(7.152).
Непрерывное представление. Установив смысл нашего обычного разложения
единицы, мы можем взять весь аппарат непрерывного представления по
когерентным состояниям из нашего предыдущего рассмотрения. В частности,
представление операторов может быть задано с помощью интегрального ядра
({гй}| {z?}):
<{2*}|#|ф> = J ({гА}|^|{<})<{^)|ф)ф({4)). (7.154)
Существует и представление дифференциальными операторами, аналогичное
(7.95). Если Ж5({а?}, {afe|) зависит от операторов рождения и
уничтожения, то
<Ы I г (К), (",]) I *> - v (V;], {А ¦+ -A J) (ЫI ¦*>.
(7.155)
Нормально упорядоченные операторы удовлетворяют соотношению
<Ы I: ({4}. Ы): I И) =67(КЬ МХЮI Ю>;
(7.156)
кроме того, имеет место соотношение [ср. (7.106)]
<K}F(K}> Ы)1Ы> =
-<К]1:"%(К). К)):К2.)>. (7-157)
связывающее W и :Ж": = Ж через их диагональные матричные элементы.
Аналогичным образом
I ф) = { I Ы> <{zk} | ф) ф ({2а}) (7.158)
и
^=111ЫХЫИ1К}><К)1^(Ы)^(Ю) (7Л59)
§ 4. БЕСКОНЕЧНОЕ ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ 203
можно рассматривать соответственно как представления абстрактных векторов
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 129 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed