Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
поперечные векторы
а (к, 0 = 2 е*. (к) ак (к, t), (7.177а)
А
Z (к, 0 = 2 еА (к) z% (к, t), (7.1776)
А
которые, очевидно, удовлетворяют соотношению
a (k, t) |{2}> = z(k, t)\ {г}), (7.178)
Где I {z}) = [ {z^ (к)}). Аналогично введем определения
А(+>(х, = (7.179а)
к
v =7V S (^)1/2 e'k'xz <k- ъ (7-1796)
к
A<+)(x,/) и V(x,i) являются положительно-частотными функциями, или
аналитическими сигналами в смысле
§ 4. БЕСКОНЕЧНОЕ ЧИСЛО СТЕПЕНЕН СВОБОДЫ 207
гл. 1. Положим также
Е(+)(х, 0 = - А(+) (х, 0 = ^2(^)'Vkxа (к. 0, (7.180а)
к
е(х, о = - V (х, о=^2(т),/,е,к'Х2(к> 0 (7Л80б)
и
Н(+) (х, *) = V X А(+) (х, t), n (х, t) = V X V (х, t).
Когерентные состояния, очевидно, представляют собой собственные состояния
всех этих положительно-частотных операторов, а именно
А(+,(х, 0 |{г}> = V (х. *)1{г}>, (7.181а)
Е<+;(х, f)|{z}> = e(x, 01 {г}), (7.1816)
Н(+)(х, 0i{z}) = n(x, 0l{z}). (7.181b)
Сопряженные операторы являются отрицательно-частотными операторами и
обозначаются так:
[А'4"1 (х, 0l+ = А(_> (х, 0, (7.182а)
|Е(+)(х, 01+ = Е<-)(х, 0, (7.1826)
[Н<+) (х, of = н(_)(х, 0- (7.182в)
Из формы записи ясно, что все положительно-частотные (а следовательно, и
все отрицательно-частотные) операторы коммутируют между собой.
Придерживаясь принятой нами системы, запишем некоторые из приведенных
выше выражений в фазовом пространстве, что позволит связать их с более
привычными физическими величинами. По аналогии с (6.44а) и (6.35) положим
z <к- =Ш'2 а ^ -1 (шТе (ki 0> (7-183)
208 ГЛ. 7. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПО КОГЕРЕНТНЫМ СОСТОЯНИЯМ
где разделение на первый и второй члены основано на условии
а*(к, 0 = а(-к, t), (7.184а)
е* (к, t) = е (- к, t). (7.1846)
В силу этих условий функции
а (х, t) = ~ ^ е(кха (к, t), (7.185а)
к
е (х, t) = -- V егк'хе (к, t) (7.1856)
к
действительны. Нам представится случай воспользоваться соотношением
h(k, t) = ik X а (к, /) (7.186)
и его действительной формой в конфигурационном пространстве
Н(х, 0=7^2^^^ 0- (7-187)
к
Формулировку в фазовом пространстве легче всего дать с помощью
действительных поперечных векторов е(х) и а (х); ей можно придать еще
более привычный для физика вид, если использовать е(х) и "производную" от
а(х), а именно h(x).
Представитель основного состояния. Функции е(х) и а(х) [или h(x)],
очевидно, определяют последовательность (гх(к)} и тем самым когерентное
состояние. Чтобы подчеркнуть этот факт, введем другое обозначение для
когерентных состояний:
I е, а) = | е, h) гг) (к)". (7-188)
Хотя форма с независимыми модами наиболее удобна для конкретных расчетов,
представляется поучительным привести запись в фазовом пространстве.
Рассмотрим основной пример, а именно выведем выражение для представителя
основного состояния как
5 4. БЕСКОНЕЧНОЕ ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ 209
функционала от е и h. Из (7.1776) и (7.183) следует
Воспользовавшись соотношением
| h (к) |2 = [к X а (к)*] • [к X а (к)] = к2) а (к) |2 (7.190) и
равенством со2 = к2, перепишем (7.189) в форме
ехр^- ^ и-1 [| е(к) I2 + I h (к) |2]j. (7.191)
Последнее выражение принимает наиболее элегантный вид, если записать его
в конфигурационном пространстве и перейти в пределе к бесконечному
объему. Используя соотношения
е(к) = -рд- J e~ikxe(х)d3x, (7.192а)
h (к) = J e_'kxh (х) йгх (7.1926)
(и комплексно сопряженные им!), а также соотношение 1 у е<м"-г>_ 1
р е*и"-у> 1_______1_
^11ГП iS |k| (2я)3 j |k| UK 2jt2|x_y|2-
(7.193)
легко получить, что (7.191) принимает вид
Фо(е, h) = (е, h |0) =
И'ЬеМ + НЦ-М')! (7194)
С физической точки зрения это есть выражение для амплитуды вероятности
найти основное состояние поля излучения в таком смещенном основном
состоянии, для которого
(Е(х)) = е(х), (7.195а)
<Н(х)) = Н(х) (7.1956)
210 гл. 7. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПО КОГЕРЕНТНЫМ СОСТОЯНИЯМ
(как если бы оно получалось под действием внешнего источника). Следует
заметить, что с формальной точки зрения вектор гильбертова пространства
В, представленный ранее последовательностью {^(к)}, здесь представлен
парой действительных функций е(х) и h(x), квадрат нормы которых
определяется двойным интегралом в (7.194) ')•
Наш второй пример является простым обобщением первого. Именно
(е, h | е', h') = ехр j - 2 [ | z (k) - z'(k) |2 - i Im z* (k) • z'(k)]j,
(7.196)
что следует из (7.137). Здесь появился единственный новый член, а именно
Ф = ^ Im z* (к) • г' (к) =
к
= i?[e*(k)- а'(к)-а*(к)-е'(к)] =
к
= ^ S ^ [е* (к) • к X Н' (к) + к X Н* (к) • е' (к)]. (7.197)
к
В конфигурационном пространстве и в пределе бесконечного объема находим
Ф = TTft J [е (х) - а'(х) - а (х) • e'(x)J d3x. (7.198)
Воспользовавшись соотношением
ike'k'(х_у) 1 г ikeik-(x~y) ,,, г, 1
IV гке 1 г ike!K^x-J' ,3, п
lim L3 2и со2 (2л)3 J I k I2 i
i3 ^ м2 (2л)3 J 1 к |2 4я I х - у |
'
к
(7.199)
•) Этот интеграл есть "число квантов" в классическом электро магнитном
поле е и h. См. работу: Я. Б. Зельдович, ДАН СССР, 163, № 6, 1359 (1965).
- Прим перев.
§ 4. БЕСКОНЕЧНОЕ ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ 211
можно переписать (7.198) в виде
