Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
существует, и отсюда заключить, что функцию G{x,y) можно представить в
виде произведения двух функций. Следовательно, (8 36) и (8.37)
эквивалентны.
Используя разложение по модам, перепишем (8.36) в эквивалентном (при t -
0) виде [ср. (8.21)]. Для некоторой последовательности {z,} имеем
<'atai) = zlzi (8.44)
для всех k и I. Будем предполагать, что последовательность {г/,} не равна
тождественно нулю, тогда оператор
2z
6 = 2 Utat = ¦ at (8.45)
l.Zj zmzm)
будет удовлетворять соотношениям
[b, bf] = '2iUluk\av a?] = = 1 (8.46)
и
(6+6) = 2 utu\ (a\at) = 2 utKzlzi = 2 z'mzm > 0. (8.47)
Следовательно, b есть обычным образом нормированный
оператор уничтожения, для которого (6+6) ф 0.
§ 2. ПОЛНАЯ И ЧАСТИЧНАЯ КОГЕРЕНТНОСТЬ 231
Будем теперь считать переход от щ к b = bi первым в целой цепочке
преобразований, которые возникают при унитарной замене базиса типа
bm=HiUmiah (8.48)
где
2 ""X, = бтга. (8.49)
Ясно, что г<иЕ= ?^=2^/(2 z*kzk)k' и из соотношения орто-
гональности (8.49) получаем
(bfmbn) = 2 umkzkunlzl = 2 h>uVw z*pZp) =
= 6mAl (2 Z*Zp). (8.50)
В частности, для операторов числа квантов bmbm
(blbm) = о (т ф 1). (8.51)
Так как оператор числа квантов имеет положительное среднее значение в
любом состоянии, кроме основного, это условие означает просто, что моды,
описываемые операторами Ьт и bf, совершенно не заселены при всех тф 1.
Таким образом, все поле есть поле единственной моды (не обязательно
нормальной!), удовлетворяющей единственному ограничению (8.47).
Введем определение нормированных собственных состояний оператора числа
квантов, соответствующего этой единственной моде:
|п>= (п!)_,/2(б+)П| 0); (8.52)
тогда матрица плотности р будет иметь следующий общий вид:
оо
р= 2 \n)Pnm(m\, (8.53)
ti, m = 0
причем для нее должно выполняться условие
оо
{bfb) = 2 /грпп = 2 z\zk. (8.54)
п = 0 k
232
ГЛ. 8 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
Корреляционные функции высших порядков определяются либо из (8.21), либо
из аналогичного соотношения, содержащего b+ и Ьт. Однако в соответствии с
(8.51) или (8.53) лишь члены с b = Ь\ могут давать ненулевой вклад. Члены
(Ь' пЬт) удобно описывать с помощью относительных выражений
_ (ь+пьт) /с есч
8п,т tbfb)' /= ("+'")¦ |,о.оо;
Из этого определения и соотношения al = '^iumlbm получаем
(at ... at а, ... а. ) = и. ... иь и*. ... и*. (bfnbm) =
X kl кп h lm> к1 кп lmX '
{,ьыьт)
Zk1 • ¦ • zkzlx ¦ ¦ • zlm г*>г y/2(n+m}
V,, •••*0- №56)
Наконец, после умножения иа требуемые множители и многократного
преобразования Фурье приходим к выражению
G (-Ч> • • •> ) -Гга+Ь ¦ • •> -^га+m) (tm)
га га + гаг
= "II Г1 (8.57)
*¦=1 / = га+1
Таков общий вид, который принимает (п,т)-я корреляционная функция для
поля, когерентного в первом порядке.
Поскольку нас интересуют корреляции фотоотсчетов, ограничимся вначале
рассмотрением корреляционных функций G(n'nK Для них, очевидно, имеем1)
G (*!, . . . , Хп, . . . , Л^2га) "
п 2 п
= gn II г (xft) Г1 У(хг), (8.58)
/j -! / - ft -К I
') Этот результат для G<". "> впервые был получен Титуламе-ром и
Глаубером [8.3].
§ 2. ПОЛНАЯ И ЧАСТИЧНАЯ КОГЕРЕНТНОСТЬ
233
где мы положили
_ {ь+пьп)
ёп ёп, П ^ь*Ь)п ' (8.59)
Все эти коэффициенты - действительные неотрицательные числа. Совокупность
чисел {g,.} вместе с функцией V{x), как нетрудно понять, характеризует
скорости отсчетов для поля, когерентного в первом порядке. Если ёп = 1, п
= 1, 2, . . . , М, то, следуя Глауберу, говорят, что поле имеет
когерентность М-го порядка. Это связано с тем, что если ёп - 1 при всех
п, то поле полностью когерентно, так как при этом G(n-n'> имеет
канонический вид (8.32). Условия (8.35) для п^-2 вместе с (8.58),
очевидно, означают, что g" = 1 при всех п\ поэтому вся совокупность
соотношений (8.35) указывает на полную когерентность поля, как уже
отмечалось выше.
Поучительно привести некоторые примеры матриц плотности и посмотреть,
каковы соответствующие выражения для ёп- Если положить М = Ь+Ь, то из
(5.47) вытекает
(М-(М- 1)-(М-2) ... (М- [п- 1] )) _ (М 1/(М - п)\)
ёп- (ЩП - (щп
(8.60)
Следовательно, если р= \т){т\-чистое собственное состояние оператора
числа квантов, то
тп (т - п)\ ' ^8-61^
при всех п > т функции g" обращаются в нуль. Если
р - > ¦ (8-62)
что имеет место для "теплового" (или хаотического)
распределения единственной возможной моды, то
ёп = п\ (8.63)
Доказательство соотношения (8.63). Если положить % = е~^,т
234 ГЛ.8 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
Следовательно, для п = 0 и п = 1
Sp {е~+м} = (1 - Я)-1, Sp {Ме~(r)м} = Я (1 - к)~2. Сопоставляя эти
свойства, находим
[к(\-ху1Гп п\Хп е" = (Г=Др-------------
что и требовалось.
Такое поле не может обладать когерентностью выше первого порядка. Для
полной когерентности необходимо, чтобы gn = 1 и тем самым (bfnbn) = (bj
b) для всех п. Следовательно, мы видим, что общее соотношение
^ (bfnbn) = ( : ехр {kbfb): > = <ехр [in (1 + к) bfb\) =
п-О
оо
= 5](1+ЯГРтт (8.64)
т~ О
приводит к частному случаю
2(1+ 'кТ Ртт = ехр (к (bfb) . (Н.6Г>)
