Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
вытекает из свойств аналитичности и включает в себя в качестве частных
случаев более привычные примеры, а именно отрезок линии или открытую
последовательность в комплексной плоскости, б) Любая бесконечная
последовательность av, а^Ф 0, такая, что
оо
С = 2 I "V Г2_ 11 = 00 (7.112)
V = 1
для некоторого rj > 0. Этот пример построен с учетом свойств, которыми
обладают целые аналитические функции, удовлетворяющие условию (7.47).
Заметим, что найденный фон Нейманом характеристический (т. е. "полный")
набор, определенный соответствующей квадратной решеткой точек в
комплексной плоскости (о котором мы уже упоминали), есть третий пример
характеристического набора, не являющийся частным случаем примеров "а"
или "б".
За недостатком места мы не останавливаемся на интересном использовании
когерентных состояний и связанных с ними величин в качестве производящих
функций для различных состояний и операторов. Эта идея разрабатывалась
еще Фоком на заре квантовой теории.
') По нашей физической терминологии набор векторов {| г ) ; г е (c)}
является полным.
192 ГЛ. 7 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПО КОГЕРЕНТНЫМ СОСТОЯНИЯМ
Она же лежит в основе элегантного подхода Швингера к квантовой теории
поля, до известной степени сходного с упоминавшимся в гл. 4.
§ 3. КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ ДЛЯ НЕСКОЛЬКИХ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
Свойства когерентных состояний для нескольких степеней свободы являются
прямыми обобщениями наших предыдущих замечаний, относившихся к одной
степени свободы. Мы ограничимся некоторыми определениями и вопросами
размерности, предоставляя остальное воображению читателя.
Пусть мы имеем дело с К степенями свободы; им соответствуют операторы
числа квантов N k = a\ak, k = = 1,2, ...,/С и их общий набор
нормированных собственных векторов
| щ, п.,, пк) = | {nk}),
введенных выше [см. (5.70)]. Тогда соответствующие когерентные. состояния
зависят от К комплексных переменных и по аналогии с (7.1) определяются
соотношением
|z1; z2, .. ., zK) = | {zk}) =
вместе с. очевидным определением сопряженных векторов ({zft}i-
Эти состояния являются, разумеется, основными состояниями К независимых
сдвинутых осцилляторов при соответствующих внешних силах. Аналогично
|{zft}) является общим собственным вектором операторов ak>\
ak'\{Zk}) = Zk'\{Zk)) (7Л14)
для всех k' = 1, 2, ..., К.
§ 3. НЕСКОЛЬКО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ 193
Перекрытие двух когерентных состояний есть просто
<Ы I К}> = II ехр{ -112 J2 + z>'k - т I zkf} =
= ехр j - 2 [тЫ2-2Х+1гК|2]} =
I k=i
= j - 2 [у 12, - z'k |2 - / Im (z*kz'k)] J , (7.115)
где последнее равенство следует непосредственно из (7.31).
Нормированность и непрерывность состояний | {zk}) и аналитичность функций
f ({z*})=ехр ('/2 2 I zk |2) ({zk} | ф) также получаются сразу.
Основная формула (7.48) для разложения единицы записывается в следующей
более общей форме:
к
/ = -2 J ... J \{zk})({zk}\J[d%, (7.116)
k= 1
где d2zh = d(Re zh)d(\m zh) и интегрирование распро* страняется на все
2/(-мерное пространство. Доказательство этого разложения проводится
аналогично доказательству для случая одной степени свободы. Удобно
записать л~к и элемент объема более компактно:
dhk = dii({zk}), (7.117)
k = l
так что (7.116) просто принимает вид
/= Jlfoj) <{**}!Ф({**})¦ (7.118)
Весь аппарат непрерывного представления можно
ввести с помощью (7.118). Формула для скалярного произведения
записывается следующим образом:
(X | ф) = J (К | {zk}) ({zk} I ф> ф ({zk}) (7.119)
194 гл. 7. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПО КОГЕРЕНТНЫМ СОСТОЯНИЯМ
и т. д. У операторов существуют оба представления: с помощью интегральных
ядер и с помощью дифференциальных операторов. Заметим, что операция
нормального упорядочения : : обобщается так, что все операторы рождения
должны стоять слева от всех операторов уничтожения ak> в каждом
множителе.
Здесь мы хотели бы обратить внимание на ту роль, которую играют круговые
частоты ь~>и в задаче с несколькими гармоническими осцилляторами. Когда
мы имеем дело одновременно с несколькими гармоническими осцилляторами,
мы, вообще говоря, не можем путем выбора единиц сделать все круговые
частоты равными единице. Поэтому удобнее всего показать явно роль каждой
из частот <щ.
Операторы физических "координат" и "импульсов" Qk и Ри связаны с ah и а+
соотношениями (5.68). Аналогичным образом можно ввести фазовое
пространство для К степеней свободы с помощью разложения
для каждого k. Как обычно, определим \{ph, Як}) - = |{z/t}). В этих
переменных функциональный представитель состояния |0) = |{0}),
отвечающего основному состоянию по каждому из К осцилляторов, имеет вид
Если переписать это выражение несколько иначе:
то оно принимает легко запоминающуюся форму: Основное состояние =
(7.120)
Фо (iPk, qk)) = ({Pk. Як) I о) =
К
ехр
2 Йсо,
и _ 1 L Я
1 v Г чЛРк+м&Щ}
о Zj Г >
(Энергия классического осциллятора)
(7.122)
§ 4. БЕСКОНЕЧНОЕ ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ 195
Стоит отметить небольшую отличительную особенность разложения единицы
(7.118), записанного в фазовом пространстве. В частности,
