Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
|ф) и операторов Л. Нетрудно обобщить на этот случай дальнейшие
замечания, сделанные ранее при рассмотрении одной степени свободы.
Совершенно ясно, что всему нашему рассмотрению, включая соотношения
(7.152) и (7.153), соответствует совершенно аналогичная формулировка в
фазовом пространстве В последнем случае основное внимание должно быть
сосредоточено на величинах qh и ри, которые для всех k определяются
следующим образом:
Заметим, что в этой формулировке допустимые последовательности в фазовом
пространстве в силу (7.132) должны удовлетворять условию
Представитель основного состояния получается непосредственно из (7.137):
Фо({Рь йк)) = ({Рк. <7*}10> =
Очевидно, и это выражение имеет схематический вид (7.122). Рассмотрение
свойства фазового пространства мы продолжим после того, как будут
разобраны свойства поля излучения.
Б. Приложение к электромагнитному полю
Как было показано в гл. 6, электромагнитное поле можно рассматривать как
совокупность гармонических осцилляторов, находящихся под действием
внешних сил. Если считать, что система находится в большом кубическом
объеме квантования Q = L3, то соответствующие независимые нормальные моды
обычно обозначаются
(7.160)
оо
оо
= ехР - 4j^K'7l + <V/2) • (7.162)
2Ш ГЛ. 7. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПО КОГЕРЕНТНЫМ СОСТОЯНИЯМ
индексами к и к, причем к представляет собой поляризационный индекс, а к
- переменную импульса, квантованную в соответствии с (6 40) Значение к =
0 исключается явно Обозначение двумя индексами к, к соответствует
использованному выше обозначению одним индексом k
В настоящем рассмотрении мы ограничимся свободным полем излучения и полем
излучения при наличии с-числовых источников Как уже отмечалось в гл. 6,
только в этих случаях возможно неприводимое квантование, при котором
собственные состояния операторов числа квантов или когерентных состояний
действительно накрывают все гильбертово пространство. Тогда оператор
уничтожения (Я, к)-й моды в зависящей от времени форме определяется в
соответствии с (6.59) выражением
ак (к, t) = e-iata'Kn (к) + сА (к, t), (7.163)
где круговая частота есть просто со = кщ k = i к |. Из (6.55) получаем
выражения для с*, (к, t) через с-число-вой ток f%{k, t):
t
сК{к, t) = i(2ha)-'k е~ш J em'fh (к, t') dt'. (7.164)
- oo
Будем считать |{"x(k)}) собственными состояниями операторов
JVf (к) = af+ (к) af (к). (7.165)
Тогда когерентные состояния |{2х(к)}), определяемые соотношениями типа
(7.143) для всех к и к, удовлетворяют условию
af (к) | {z, (к)}) = г, (к) [ {г, (к)}). (7.166)
В свою очередь зависящие от времени операторы уничтожения удовлетворяют
соотношению
а, (к, ^)|fe(k)}> = [a-'^(k) + a,(k, t)]\{zK(к)", (7.167)
и, таким образом, когерентные состояния являются также и собственными
состояниями оператора ax(k,t). Введем сокращенное обозначение
Zx(k, t) = e~iatzK{k) + c^(k, t), (7.168)
§ 4. БЕСКОНЕЧНОЕ ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
205
что является в действительности просто комплексной формой классического
решения уравнений Максвелла с источниками.
Если по аналогии с формулой (6.15) принять
за эволюционный оператор с гамильтонианом Ж, заданным соотношением
(6.46), то
a[n(k)U (*) | {z* (k)}) = z* (k, t) U (t) |{zA(k)}). (7.171)
где ф(/) - некоторая фазовая функция. Можно показать, что
<p(0 = ]? JV*(k, n(2/kor,/2ReMk, t')\dt', (7.173)
где ф(/) зависит и от начального состояния, и от действовавшей силы.
Резюмируя, можно сказать, что при наличии внешнего с-числового источника
f i(k, t) когерентное состояние переходит (с точностью до фазового
множителя) в другое когерентное состояние, полностью определяемое
классическим решением при наличии источника.
Общим приложением этого фундаментального результата является описание
процесса испускания и поглощения фотонов с-числовым источником. Выясним,
например, какое распределение для {п&} будет обнаружено в момент t за
счет действия источника. Из (7.134), очевидно, следует
U (/) = Т\ ехр
ехр - (-g-) j3(r){t')dt' (7.169)
- оо
a,(k, t) = U{t)-'alkn{k)U{t). (7.170)
Умножая (7.167) на U(t), получаем
Это означает, что
t/(0l{z*(k)}> = e"P<"|{2A(k, *)}>. (7.172)
К, k -ОО
р (К (к)} 10) = I <К (к)} I и (01 К (к)}) I2 = = I (К (к)} I {zx (к, 0}>
12 =
On /Ы
ехр [ - | zA (к, t) |2]. (7.174)
206 ГЛ. 7. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПО КОГЕРЕНТНЫМ СОСТОЯНИЯМ
Мы получили просто многомерное распределение Пуассона для любых t, причем
<nA(k)> = |zfc(k, t) I2. (7.175)
Эти результаты приводятся обычно для излучения из вакуумного состояния
[для которого 2?-(к) = 0]; в этом случае 2*,(к, /) = с^(к, t) при всех Я,
к [см. (7.164)].
Свободное поле. Рассмотрим теперь частный случай свободного поля
излучения без внешних токов. Тогда для каждой из мод имеем просто
а% (к, /) = е~ша!? (к), (7.176а)
2К(к, 0 = е-'"^(к). (7.1766)
Удобно ввести некоторые сокращенные обозначения для соответствующих
динамических переменных. Пусть ex{k) обозначает поперечный вектор
поляризации [входящий в (6.25) и последующие соотношения] и определим
