Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
п п+т
(8.21)
оо
оо
21 % Р<
(8.24)
222
ГЛ. 8. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
С нормально упорядоченным производящим функционалом тесно связана
величина, которую можно назвать "характеристическим функционалом" С({ик})
для матрицы плотности р. С учетом (7.26) эту величину можно определить
так:
С (Ю) = ехр ^ ~ ^ | uk !2j С у ({и*}) =
(8.26)
Следует отметить, что для любой последовательности {uh}, удовлетворяющей
условию (8.24), функционал C({uk}) есть среднее значение унитарного
оператора [который является непосредственным обобщением на случай
бесконечного числа степеней свободы оператора U[p, q\ определяемого
соотношением (7.26)]. Подобно тому как характеристические функции (фурье-
образы) полностью определяют классические вероятности, аналогичный им
функционал С({щ}) полностью определяет квантовомеханическую матрицу
плотности р.
Разумеется, нет особой необходимости использовать разложение по модам для
образования производящих функционалов. Снова ограничиваясь для простоты
корреляциями при t = 0, мы можем с тем же правом рассматривать нормально
упорядоченный производящий функционал, задаваемый соотношением
Сдг {S} = (ехр (S • А(_)) ехр (- S' • А(+))>, (8.27)
где все операторы берутся при / = О и введено сокращенное обозначение
S* • А(+) = | S* (г) • А(+) (г) (Сх = [ S ¦ А(_,]+. (8.28)
Наряду с этим можно рассматривать тесно связанный с (8.27)
характеристический функционал
С {S} - (ехр (S • А<-) - S* • А(+>)>. (8.29)
§ 2. ПОЛНАЯ и частичная когерентность 223
В дальнейшем нам представится возможность воспользоваться нормально
упорядоченными производящими функционалами и связанными с ними
характеристическими функционалами. Еще раз подчеркнем, что любой из этих
функционалов полностью определяет состояние системы. Повторим также, что
корреляции скоростей счета связаны лишь с функциями G<"' п> и не имеют
прямого отношения к функциям G<n'm) при п Ф т.
§ 2. ПОЛНАЯ И ЧАСТИЧНАЯ КОГЕРЕНТНОСТЬ
А. Определения и полная когерентность
Как мы видели выше, информация о скоростях счета в корреляционных
измерениях содержится в функциях G(".") (или ,'?(re'n)), определенных для
произвольных аргументов. На основе этой информации мы должны решить,
какие из состояний системы заслуживают названия полностью когерентных.
Для классического случая в гл. 1 уже отмечалось, что обычно различают
когерентные, частично когерентные и полностью некогерентные поля.
Решающей величиной для свойств когерентности, которая используется при
описании всех классических интерференционных опытов, является функция
взаимной когерентности, которая для скалярного поля (или для заданной
поляризации) определяется следующим образом:
Г(1,1)(г, t\ г', t') = Г (г, t; г', t') = {v*{ г, t')V{ г, ф.
(8.30)
Используется также нормированная форма
Y(r, t\ г', t') = Г (-г' U т>' V п-, (8.31)
[Г (г, t; г, t) Г (г', г', Г)1
которая называется комплексной степенью когерентности и удовлетворяет
неравенствам |у| при всех значениях аргументов. Ранее мы показали, что
если для двух пространственных точек гиг' при всех t и /' выполняется
условие 171 = 1, то наблюдаемая интерференционная картина будет такой же,
как и для полностью детерминированного поля, и поэтому поле можно считать
224
ГЛ. 8. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
когерентным. Если |у| = 0 для всех t и t', то поле считают некогерентным,
в то время как при 0<|у|< 1 - частично когерентным.
В квантовом случае роль Г(1,играет корреляционная функция GO. *>.
Поскольку функция GO. ')(r, t; г, t) пропорциональна числу фотонов,
попадающих в точку г в интервале времени от t до t + dt, она также
пропорциональна интенсивности почернения фотоэмульсии при такой
экспозиции. Для различных пространственно-временных точек функция G<'-
'>(r, t\ г', t') связана с интенсивностью, наблюдаемой в опыте с двумя
щелями, точно так же, как функция Г(|' Дг, /; г', t'). Обе эти величины
удовлетворяют волновому уравнению для свободных полей и обе являются
аналитическими сигналами по t и по -t'.
Чтобы пойти дальше этого сравнения, постараемся уточнять^ довольно
неопределенное понятие "когерентности". Умышленно придерживаясь общего
подхода, будем говорить, что "свойство когерентности" статистического
ансамбля есть наблюдаемый аспект, содержащийся в каждом члене ансамбля.
Различные ансамбли будут иметь, вообще говоря, различные свойства когё-
рептпости. Наряду с этим один и тот же ансамбль может иметь различные
наборы свойств когерентности в зависимости от того, какая группа величин
считается "наблюдаемой". Это наводит на мысль называть свойствами
относительной когерентности такие свойства, которые удовлетворяют
критериям свойства когерентности для подгруппы наблюдаемых. Иначе говоря,
критерии свойства относительной когерентности являются необходимыми, но,
вообще говоря, не достаточными критериями свойства когерентности.
Интуитивно ясно, что чем большее число свойств когерентности имеется у
данного ансамбля, тем меньше наблюдаемые различия между членами ансамбля.
