Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Клаудер Дж. -> "Основы квантовой оптики" -> 60

Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.

Клаудер Дж., Сударшан Э. Основы квантовой оптики — М.: Мир, 1970. — 430 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovikvantovoyoptiki1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 129 >> Следующая

/ = { \{Pk> Qk})({pk> qk}\dp({Pk, <7fc})> (7.123)
где, как непосредственно следует из (7.117) и (7.120),
dn({pk,qk}) = (7Л24>
fc=i
и интегрирование распространяется по всему Д-мерному фазовому
пространству. С помощью этого соотношения нетрудно проверить, что функция
(7.121) удовлетворяет соотношению
1 = J (0 \{pk, qk}) {{Pk, Чк) I 0) dp ({pk, qk}) =
= J I Фо ({Pk, qk}) I2 dii {{pk, qk}). (7.125)
§ 4. КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ ДЛЯ БЕСКОНЕЧНОГО ЧИСЛА СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ.
ПРИЛОЖЕНИЕ К ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМУ ПОЛЮ
А. Общие свойства
Теперь произведем переход (К-"оо) к бесконечному числу степеней свободы,
необходимому для описания электромагнитного поля. Как и в гл. 5,
осуществим этот переход в предположении, что
JV-SJV* (7.126)
fe = I
И
оо
Ж=^Ь&кЫк (7.127)
k=\
являются хорошо определенными операторами. Как уже отмечалось в гл. 5,
для этого достаточно, чтобы каждое из общих собственных состояний
операторов числа квантов
\Щ, п2, ...) = [{%}> (7.128)
196 гл. 7. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПО КОГЕРЕНТНЫМ СОСТОЯНИЯМ
удовлетворяло условию
оо
h пк<оо- (7.129)
k=1
иначе говоря, их множество должно быть счетным.
Чтобы определить когерентные состояния для бесконечного числа степеней
свободы, рассмотрим сначала состояние вида
00 ( °° / \пь> \
м>- - nfW !W> (ПЗО)
{nk}=0 I fc'=l г k"> I
и посмотрим, при каких значениях оно является настоящим вектором. Из
свойств ортогональности \{пи}) получаем
оо оо 2/г./
S n^rf-
Ы=о *'='
оо оо .2/1// ( 00 1
= П S 7^])- = exP Si2*'!2!- (7-131)
ft'-l = 0 V ' I fc'=I J
Чтобы выражение (7.131) было конечным, величины (Z),} должны
удовлетворять неравенству
2|2vl2<oo. . (7.132)
k'=i
Поскольку все векторы должны иметь конечную норму, в последующем
изложении мы будем считать условие (7.132) выполненным. Отсюда, очевидно,
вытекает следующее фундаментальное следствие: допустимые
последовательности {Zk} сами образуют гильбертово пространство 3
(отличающееся от квантовомеханического гильбертова пространства $) со
скалярным произведением
оо
"г,), К)) - 2 (7ЛЗЗа)
§ 4. БЕСКОНЕЧНОЕ ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
197
и квадратом нормы
оо
\\ШГ = ({гк), Ы) = 2 I г, |2. (7.1336)
А = 1
Иными словами, аргумент {zh} вектора гильбертова пространства сам
является вектором другого,
по-прежнему бесконечномерного, гильбертова пространства: В некоторых
случаях нам придется пред-
ставлять вектор из пространства 3 не в виде последовательности {zk}, а в
другой форме.
Имея постоянно в виду ограничение (7.132), можно теперь определить в
качестве искомых когерентных состояний векторы
наряду с их сопряженными ({zft}|.
Состояния |{zft}) являются не только основными состояниями сдвинутых
осцилляторов, но и общими собственными векторами операторов
ak'\{Zk}) = zk'\{zk}) (7.135)
для любого k' = 1, 2, ... . В силу (7.132) получаем
lim ak'\{zk})= lim zk'\{zk}) = 0. (7.136)
fe'->co k'->00
Отсюда вытекает, что для достаточно больших значений k любое когерентное
состояние имеет приблизительно тот же вид, что и основное состояние
осциллятора. С другой стороны, для любого наперед заданного
значения k' существуют когерентные состояния со сколь
угодно большим значением г^.
198 ГЛ. 7. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПО КОГЕРЕНТНЫМ СОСТОЯНИЯМ
Перекрытие двух таких когерентных состояний определяется пределом
выражения (7.115) при К -> со, откуда получаем
со
<{zfc}IK}) = nexp{"Tl2fer + zX-Yl^|2} =
k=!
= exp{-E[il^P~ гУм + j\zk I2]} =
= exp { - ? [¦j j zk - z'k j2 - iIm (zX)J J. (7.137)
Все вопросы сходимости бесконечных произведений и интегралов связаны,
конечно, с выполнением фундаментального ограничения (7.132).
Вычисления, аналогичные проведенным после соотношения (7.40), показывают,
что
hi; - i hl>IP "2 (II hi II+1 h) I) ¦ II h - <} I ¦ (г os"
Следовательно, два когерентных состояния близки, если отвечающие им
последовательности {гл} близки как векторы в 3- Из этого свойства
вытекает важное следствие, имеющее физический смысл. Пусть задан вектор
|{zft}) с zh Ф 0 при всех k. Из физических соображений можно
предположить, что состояние |{гА}) приближенно можно заменить на
состояние | {z'}>, для которого zk = z'k для и z'k = 0 для
k>M при достаточно боль-
шом М. Назовем такую последовательность усеченной последовательностью и
обозначим ее {гд.м}- Это значит, что
zk,M^zk {k^M), = 0 {k > M). (7.139)
Тогда из (7.138) и из неравенства !!{2д, дЛИ<1[|{г/Л| следует
1ll{z*}>-|{z*,*}>|f<4||{zfe}ll{ 2 \zk?Y. (7.140)
1/г=ЛГ + 1 J
§ 4. БЕСКОНЕЧНОЕ ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
199
Эту величину действительно можно сделать произвольно малой при достаточно
больших М, что подтверждает наше интуитивное предположение.
Основные функции в непрерывном представлении по когерентным состояниям
даются выражением
ФЫ = (Ы1Ф) (7.141)
для любого |ф)е?. Поскольку состояния |{nh}) образуют полную систему, то
таким свойством обладают и когерентные состояния. В действительности, как
и раньше, системы когерентных состояний переполнены. Для одной степени
свободы мы отмечали, что для нахождения полных правильных подмножеств
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 129 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed