Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
меньше единицы.
Иной подход использовал Мета [8.5] в своем рассмотрении, проводившемся с
целью обобщения классической степени когерентности Мета следующим образом
определяет последовательность "комплексных степеней когерентности четного
порядка":
Чтобы эта величина была определена, поле должно содержать п или более
фотонов. Для определения всей последовательности g(n'") нужно, чтобы в
поле содержалось бесконечное число фотонов. Даже при такой нормировке
величина g(n- п> все еще может быть сколь угодно большой. В самом деле,
чтобы знаменатель выражения (8.81) не обращался в нуль, в каждой точке
должно присутствовать п или более фотонов. Однако это условие может и не
выполняться. Отвлекаясь от этих трудностей, Мета показал, что если для
данного п(=п0) и для всех значений аргументов
то это условие выполняется для всех п > п0 и для всех аргументов.
Приведенный результат можно получить примерно так. Для п = 1 определения
Меты и Глаубера совпадают, т. е. = gO '), поэтому условие
приводит к когерентности первого порядка. Отсюда следует, что функция
G<"-n) определяется соотношением (8.58); если все gn Ф 0, то нетрудно
видеть, что соотношение (8.82) выполняется для всех п. Тогда, согласно
рассмотрению Мета, поле, когерентное в первом порядке, будет считаться и
"полностью когерентным в четных порядках".
(8.81)
| ..., х2п)\= 1,
(8.82)
|g(1' 1)(х, у)\= 1
(8.83)
§ 2. ПОЛНАЯ И ЧАСТИЧНАЯ КОГЕРЕНТНОСТЬ 239
В заключение обсудим определение, которое было введено и подробно
исследовано Сударшаном [8.4]. При этом он в значительной мере
руководствовался желанием использовать такие величины, которые являются
более непосредственными обобщениями классической степени когерентности и
в то же время могут служить удобной мерой чистоты возбужденных мод. Чтобы
отличать настоящее определение от использованных предыдущих примеров, мы
можем назвать эти степени "индексами когерентности". Именно, рассмотрим
"индекс когерентности порядка п", определяемый соотношением
S (Х[, ..., хп, хп+ j, . . ., х2п) =
__ ______________G^ ' НХ1, ¦¦¦, Хп'у Хп+1, • • ¦ , %2п)_______
[G<fl' Хп', Хп, Xi) G* ' ' (х2п, ¦ •.. Xfl+l! хп+1, ..., Х2п)]
(8.84)
Если знаменатель обращается в нуль при некоторых аргументах, то то же
происходит и с числителем; тогда S(n<") определяется из соображений
непрерывности (если это возможно). Чтобы величина SI(tm)-(tm)) была определена
при всех п, в поле должно присутствовать бесконечное число фотонов. Для п
= 1 величина S(|. О совпадает с g<1' б и g'G). Следовательно, если |5б>
')(хг,х2) | =•-= 1 при всех аргументах, то поле "когерентно в первом
порядке". Если к тому же все gn Ф 0, то "з (8.58) непосредственно
следует, что в этом случае
|S(n'n)(*i, х2я)|=1 (8.85)
для всех п. Более того, как и при рассмотрении соотношения (8.81), можно
показать, что из справедливости соотношения (8.85) для данного п(= п0) и
для всех значений аргументов вытекает его справедливость для всех п>"о и
всех аргументов (для которых эти функции определены). В обоих случаях
поле излучения есть поле единственной моды, как в случае когерентности
первого порядка, плюс примесь других состояний, в каждом из которых
находится не более п0-1 фотона. Поскольку величина 51(tm)' (tm)> чувствительна
лишь к состояниям с числом фотонов не меньше п, то указанная примесь не
повлияет на S{n°'
240 ГЛ. 8. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
Заслуживают упоминания две важных особенности индексов когерентности.
Прежде всего покажем, что
0< |S(n'n) *2")|<1 (8.86)
при всех п и при всех аргументах, для которых отношение (8.84)
определено. Возьмем произвольные опе-
раторы s4- и и вспомним разложение (5.18) матрицы плотности, а также
неравенство Шварца (5.3). Отсюда следует
п
< 2 Ря I (tyn I Ж ' $ Kre) I ^
п
< 2 {|3" (^п I SSP Si I Ф")} /2 {р" (^>П I I фп)} k <
п
< {2 р" <-ф" I л 11|з")р {2 р" <-Фт I Л I ^т>},/2=
= Si)1 {%''М)'\ (8.87)
т. е. обобщенное неравенство Шварца. Полагая
si = Л (х") Л (х,^) . . . Л (х,),
$ = Л (х"+1) Л (х"+2) ... Л (х2"),
получаем требуемое неравенство для п\
Вторая особенность индекса когерентности, которую мы хотели бы
подчеркнуть, связана с его интерпретацией как индекса видности. Как уже
говорилось, величина 1 ± j yi2(т) | описывает относительные экстремумы
интенсивности в соответствующем эксперименте с двумя щелями [см. (1.23)].
Поэтому естественно считать, что величина
1 ± | S(n- п){хи х2п)\
представляет экстремумы "-кратных корреляций интенсивности в указанных
точках. Следовательно, величину
у-лп, п) _ | s(n, п) (xl5 . . Х2п)\ (8.88)
можно рассматривать как обобщенный "индекс вид-
ности". Из сделанных выше замечаний следует, что
§ 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФОТООТСЧЕТОВ
241
если для некоторого п0 измерения дают Т{п<" "о) = 1, то можно с
уверенностью утверждать, что в поле возбуждена одна мода, описываемая
модовой функцией V(х) и моментами gn,m [см. (8.55)], плюс примесь
состояний, в каждом из которых находится не более п0- 1 фотона. Для того
