Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Р(т, Т) = {: ('арТ^ - ехр (- а0ГсРа): ^. (8.100)
Так как мы перешли к пределу s -"0, это выражение должно быть
справедливым при всех Т.
Пределы применимости. Практически говоря, такое заключение вполне верно,
но в строгом смысле (8.100) не может выполняться при всех Т. Чтобы
понять, что это довольно общее свойство, удобно воспользоваться
производящей функцией
оо
Q(K Т)^ 21(1 -X)mP(m, Г) =
т = 0
оо
= < : ехр( - ка0Tafa) : ) = ^ ^ ao Tp{afpap) =
р = 0
оо
= <ехр (In [1 - ХаоГ] afa)) = 21 ~^Т)пР{п). (8.101)
п=о
§ 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФОТООТСЧЕТОВ
245
Здесь мы применили соотношение (7.91а); Р(п) есть распределение фотонов в
нашей выделенной моде. Чтобы функция Р(т, Т) представляла собой настоящее
распределение при всех Т, т. е.
оо
0<Р(т,Г)<1, hP{m,T)= 1, (8.102)
m = 0
очевидно, должно выполняться условие 0<(Q(1, T)^Cl для всех Т, пока 0
4(7,4(1. Рассмотрим, однако, чистое состояние с нечетным числом п0
фотонов, для которого P(rio)= 1, а все остальные Р(п) равны нулю. В этом
случае при 0 <7.4(1 получим Q(l, Т) = (1 - ка0Т)п° < 0 при достаточно
больших Т, а именно при всех Т > (Хаоу' ^ ад[.
Нетрудно показать, что ограничение этого типа является вполне общим и что
для произвольного состояния Р(т,Т) представляет собой настоящее
распределение лишь при условии
= (8.103)
^ а0 ал v 7
Кроме того, предельное распределение при Т = а~1 есть как раз
Р (m, а"1) = Р (т). (8.104)
Именно, в момент ао~' распределение отсчетов, принятых детектором,
становится просто распределением фотонов в единственной нормальной моде
поля.
Появление объема квантования в условии (8.103) показывает, что верхняя
граница а"1 может быть сделана сколь угодно большой; таким образом, и
вопрос становится в значительной мере академическим. Тем не менее
поучительно понять причину ограничений этого типа. Предположим, например,
что в нормальной моде содержится как раз один фотон, так что
Р(т. Т) = (И • {аоТ^аГ- ^Р (- a07Vа): [ 1), (8.105)
246
ГЛ. 8 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
или, конкретнее,
Р (О, Т) = 1 - а07\ (8.106а)
Р( 1, Т) = а0Т, (8.1066)
и все остальные члены равны нулю. Ограничение аоТ 1 здесь совершенно
очевидно, но более важен тот факт, что этот результат по существу
неправилен в любом случае: скорости, которые мы вывели с помощью теории
возмущений, не учитывают должным образом распада начального состояния при
временной эволюции.
Более удовлетворительный результат для примера с одним фотоном можно
получить следующим образом. Начальные скорости, вычисленные по теории
возмущений, по-прежнему верны, а именно
я (1) = а0 (а1'а) = а0, я (р) = 0, 2. (8.107)
В самом деле, осо есть правильная скорость поглощения фотона в любой
данный момент времени при условии, что до этого не было зарегистрировано
ни одного фотона. Поэтому величина 1 -aodt в любой данный момент времени
представляет собой вероятность того, что фотон не будет зарегистрирован в
интервале dt при условии, что фотоны не были зарегистрированы и до этого
момента. Отсюда вытекает (в духе вычислений, приведенных в гл. 2)
t + T
Р{о, 7) = "2 (1 -a0dty' = exp(-a0T) (8.108а)
t
и как следствие
Р{ 1, Г)=1-Р(0, Г) = 1 - ехр(- а0Г); (8.1086)
с физической точки зрения такой результат значительно разумнее, нежели
(8.106). Для времен, удовлетворяющих условию я0Т < 1, оба результата,
очевидно, совпадают.
Стоит, пожалуй, заметить, что аналогичные ограничения налагаются на
распределение (8.100) для любого состояния, для которого скорости счета я
(р) равны нулю при (для некоторого М > 2). Поэтому еле-
§ 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФОТООТСЧЕТОВ
247
дует остерегаться чересчур буквальной интерпретации выражения (8.100) в
применении ко всем состояниям и произвольным интервалам времени, пока
размер "ящика" L < оо. Тем не менее после того как мы обсудим случай,
когда поле обладает всеми модами, и более физические состояния поля
излучения, станет ясно, что эти трудности не имеют значения с
практической точки зрения.
"Диагональное" представление по когерентным состояниям. Наш второй способ
вывода распределения отсчетов Р(т, Т) несколько отличается от
использованного выше, хотя приводит к такому же результату. Напомним, что
при выводе распределения Пуассона для отсчетов в гл. 2 существенное
значение имело предположение о статистической независимости событий (т.
е. отсчетов), происходящих в различных временных интервалах. Здесь ответ
на вопрос о статистических зависимостях этих отсчетов содержится в
выражении для скорости счета. Совместная вероятность того, что р фотонов
будут зарегистрированы в моменты t\, ..., tp в интервалах dt\, ..., dtp,
есть
ap(afpap)dtl ... dt . (8.109)
События будут статистически независимы, если вероятность можно
представить в виде произведения элементарных вероятностей для отдельных
событий, т. е. если для всех р
р.
ap(afpap)dtl . .. dtp = J\{a0(afa) dtt}. (8.110)
Это, очевидно, просто означает, что для всех р должно выполняться условие
(afpap) = ((а+а))р. (8.111)
Именно такое условие выполняется для матрицы плотности чистого
