Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
рассматривать как степень поляри-
Если перейти к общим формулировкам, то можно сказать, что для чистого
состояния степень поляризации 5* = 1, а для смешанного состояния 5s <1.
Полностью хаотическое состояние имеет степень поляризации 5* = 0 и
задается матрицей плотности
Такое излучение можно разложить по любым двум ортогональным поляризациям
с одинаковыми вероятностями. Свет теплового источника неполяризован в том
смысле, что 5s = 0.
Б. Статистические состояния гармонического осциллятора
Гармонический осциллятор занимает центральное место в квантовой механике
вообще и в квантовой оптике в частности, поэтому рассмотрим его более
подробно. Введем эрмитов оператор координаты Q и сопряженный ему эрмитов
оператор импульса Р, удовле-
(5.39а)
зации.
(5.40)
§ 3. ПРИМЕРЫ СТАТИСТИЧЕСКИХ СОСТОЯНИИ 113
творяющие каноническому коммутационному соотношению
[Q, P] = QP - PQ = ih. (5.41)
Разумеется, эти операторы вообще характеризуют одну степень свободы и
применимы не только к осцилляторам.
Операторы рождения и уничтожения. Свойства операторов Q и Р
особенно удобно изучать с помощью операторов уничтожения а и рождения а+
, определяемых со-
ответственно соотношениями
НжГ"+''Ы"Гр' <5-42а> ",-йГ"-гЫ)гГ'>- <5-42б>
В теории осциллятора ш интерпретируется как угловая частота исследуемого
осциллятора. Из (5.41) следует коммутационное соотношение
[a, af] = aaf - а+а = 1. (5.43)
В результате умножения (5.43) на а справа и на af слева получаем
соотношения
Na = a (N - 1), (5.44а)
Naf - af (N + 1). (5.446)
Здесь введен оператор числа частиц (квантов)
N = а'а, (5.45)
который, очевидно, положителен и эрмитов. Повторное применение этих
соотношений приводит к выражениям
Nam = ат (N - т), (5.46а)
Nafm - afm (N + т) (5.466)
для всех т = 0, 1,2, ... . Далее, имеем
а^тат = N {N - 1) (N - 2) . .. (N - [т - 1]) (5.47)
для любых m >- 1. Левая часть соотношения (5.47) заведомо положительна
для любых т. Следовательно, распределение собственных значений оператора
числа
114
ГЛ. 5. СТАТИСТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ
частиц N не может быть непрерывным. Действительно, если бы существовал
непрерывный спектр собственных значений, то существовали бы такие
приближенные собственные состояния оператора Л/, для которых ни один из
множителей в правой части (5.47) не был бы равен нулю, причем при
соответствующем значении т некоторые из множителей (например, один) могли
бы стать отрицательными.
Предположим поэтому, что для некоторого действительного числа оператор N
имеет одно нормированное собственное состояние
N]n) = n\n). (5.48)
Соотношение (5.47) снова приводит к противоречию, если п не является
целым неотрицательным числом. Чтобы показать, что п действительно целые
положительные числа, начнем для удобства с п = 0 и основного состояния
|0). Из (5.466) следует, что
N {afm 10" = a+m (N + т) | 0) = т (а'т | 0". (5.49)
Следовательно, afm |0) пропорционально | т) для каждого m >• 1. То
обстоятельство, что данное утверждение не бессодержательно, следует из
ненулевого условия
нормировки
(0| атаУт [0) = т\, (5.50)
которое является следствием более общего соотношения
атаьп = (д/ -f 1) (ДГ + 2) . . . (N + т) (5.51)
для т^-1. Поэтому в качестве нормированных собственных векторов
оператора N с собственным значе-
нием п можно принять
I п>= °fn! о>' (5-52)
Эти векторы удовлетворяют, например, соотношениям
af | п) = Yn + 11 n + 1)> (5.53a)
a In) = \Пг\n - 1), (5.536)
которые отвечают соответственно увеличению и уменьшению числа фотонов на
единицу.
§ 3. ПРИМЕРЫ СТАТИСТИЧЕСКИХ СОСТОЯНИЙ 1t5
Наше предварительное рассмотрение оператора числа частиц N мы закончим
нижеследующим замечанием. Предположим, что существует дополнительный
параметр вырождения, указывающий, например, что имеют место L линейно
независимых основных состояний [О, /), / = 1, 2, ..., L, для которых
N\0,1) = 0. Тогда, как следует из предыдущего рассмотрения, существуют!
полных наборов состояний \п,1). Однако операторы а и af не могут
смешивать состояния с разными /. Чтобы избавиться от этого вырождения,
постулируем, что каждый оператор может быть представлен в виде функции
операторов а и af. Другими словами, по предположению квантование
заключается в использовании неприводимых представлений операторов Q и Р
(в представлении Шредингера неприводимые операторы х и -ib д/дх
появляются автоматически). При этом может быть только один набор |п), п =
0,1,2, ..., который образует полный ортонормированный базис для
бесконечномерного гильбертова пространства. При рассмотрении осциллятора
удобно нумеровать состояния, соответствующие собственным значениям
оператора числа частиц N, начиная с нуля. Это приводит к очевидной и
простой модификации формул, полученных при общем рассмотрении.
Статистические состояния. Важный набор матриц
плотности чистого состояния представляют собой мат-
рицы, образованные из собственных состояний оператора N, а именно q" = |
п) {п |. В свою очередь важный набор смешанных состояний определяется
