Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
109
связи с соотношением (5.15), видно, что р всегда имеет каноническое
разложение
со
Р = S 1Рп (ФЛ (5-29)
П= 1
оо
где Р"^0, Р"= 1, а {|ф")} образует полный ортонор-
П= 1
мированный базис.
Таким образом, общее состояние системы соответствует матрице плотности р
в виде (5.29). Среднее значение эрмитовой наблюдаемой величины С
определяется соотношением (О) = Sp (p(J), тогда как характеристическая
функция распределения наблюдаемых значений О дается выражением
С(c) (s) = Sp {peise). (5.30)
Чистые состояния удовлетворяют условию р2 = р, но для смешанных
состояний, для которых в сумме (5.29) содержится более одного члена, это
условие не выполняется. Для конечномерного гильбертова пространства
полученные выше результаты изменятся только в том отношении, что сумма в
(5.29) будет иметь конечное число членов.
Для более наглядного пояснения этих свойств приведем несколько примеров.
§ 3. ПРИМЕРЫ СТАТИСТИЧЕСКИХ СОСТОЯНИЙ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
А. Состояния поляризации монохроматического светового пучка
Рассмотрим состояния поляризации светового пучка в качестве примера
системы с конечным числом линейно независимых состояний. Мы упрощаем
задачу, фиксируя дополнительные оптические степени свободы,
соответствующие направлению распространения и цвету (частоте) волны. В
этом случае пучок света имеет два независимых состояния, каковыми могут
быть две линейные поляризации. Как строго показано в следующей главе,
направления поляризаций перпендикулярны направлению распространения.
110
ГЛ. 5. СТАТИСТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ
Статистические состояния такой идеализированной системы не обязательно
должны соответствовать поляризованному свету. В одном предельном случае,
а именно в случае нулевой поляризации, когда никакое направление не
выделено, мы имеем смешанное состояние; другому предельному случаю 100%-
ной поляризации отвечают чистые состояния. Смешанные состояния для нашего
рассмотрения можно образовать из чистых состояний.
Поскольку возможны только два независимых состояния поляризации, мы
применим двумерное гильбертово пространство {D = 2). Таким образом,
чистое состояние можно представить нормированным двухкомпонентным
вектором
|'ф) = ( (г|з 11|з) = | ", I2 + | ы212 = 1 • (5-31)
\ ы2 /
Значения о,- определяют характер поляризации. Например, при "1 = 0, и2Ф0
(или наоборот) свет линейно поляризован. Если иг = ±ш2, свет циркулярно
поляризован. В общем случае, когда ни одно из вышеприведенных условий не
выполняется, свет поляризован эллиптически.
Матрица плотности чистого состояния (5.31) представляет собой эрмитову
матрицу второго порядка со следом, равным единице:
' и,
р = М^Н" I ";".!• <5-32>
Особенно удобное представление р, справедливое для смешанных и чистых
состояний, получается при использовании стоксовых параметров1). Для
чистого состояния (5.31) эти параметры определяются следующим образом:
s0 = "*", + "*"2 = 1, (5.33а)
s, = и*и2 + и*м,, (5.336)
s2 = i (и*2и1 - и\и2)> (Б.ЗЗв)
s3 - "*", - и2и2. (5.33г)
!) См. книгу Борна и Вольфа [1.1], гл. X.
§ 3. ПРИМЕРЫ СТАТИСТИЧЕСКИХ СОСТОЯНИЙ 1Ц
(5.34)
В любом случае (и в частности, для чистого состояния) можно положить
1 / s0 Т" s3 S1 ~ Js2
Р ~ 2 V S, + is2 s0 - s3
Если ввести обычные матрицы Паули
'О П /О -А /1 О
1 О Г a2 = \i O ' СТз = V 0 -1
и обозначить единичную матрицу через сто, то можно написать
Р = Y (socro + sicri Т- S2CT2 + s3a3) =
Ц-(1 + 8.ог). (5.35)
В свою очередь s,-, / = 0, 1,2, 3, можно найти из р с по-
мощью соотношения
S/ = Sp (рсту). (5.36)
Заметим также, что (5.34) приводит к выражению
det(p) = ^-s2). (5.37)
В обозначениях Стокса чистые состояния представляются единичными
векторами s, s2=l. Это условие является следствием равенства нулю
детерминанта матрицы р, записанной в виде (5.32), откуда в силу (5.37)
вытекает, что s2 = s2= 1.
Смешанные состояния в свою очередь получаются из чистых состояний. Пусть
ра означает семейство чистых состояний, определяемых соответствующим
семейством единичных векторов sa = Sp(paa). Тогда, согласно общей
формулировке (5.28),
Р = J Р (a) Pu da = y [l + а • | р (a) sa da] =
гЦ- (1 + s • а). (5.38)
Вследствие усреднения по различным единичным векторам значение s в (5.38)
всегда удовлетворяет условию
112
ГЛ 5. СТАТИСТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ
s2 < 1, что является отличительным свойством смешанных состояний. Следует
иметь в виду, что различные распределения р.(а), очевидно, могут
приводить к одинаковым векторам s и, следовательно, к одинаковым матрицам
р. Короче говоря, одно и то же состояние мо-жеть быть вызвано различными
причинами.
Степень поляризации 5*, независимо от вида поляризации (линейная,
круговая, и т. д.), определяется выражением
Если pi и р2 - собственные значения матрицы р, то из соотношений Sp (р) =
pi + q2 = 1 и det(p) = pip2 в сочетании с (5.37) получаем
532 = 1 - 4 det (р) = (р! + р2)2 - 4р,р2 = (pi - р2)2. (5.396)
Примем ,рг = ni/{hl + п2), г = 1, 2; тогда из соотношения (5.396)
следует, что параметр, определенный соотношением (2.41), можно
