Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Клаудер Дж. -> "Основы квантовой оптики" -> 31

Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.

Клаудер Дж., Сударшан Э. Основы квантовой оптики — М.: Мир, 1970. — 430 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovikvantovoyoptiki1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 129 >> Следующая

статистику фотоотсчетов, имел строго классическое происхождение.
Результаты классической теории частичной когерентности хорошо
подтверждаются экспериментально; классическое рассмотрение
удовлетворительно объясняет качественные особенности корреляции и
флуктуаций фотоэлектрических отсчетов. Однако при строгом анализе
следует, конечно, принимать во внимание квантовую природу поля излучения.
В конечном счете квантовый анализ, к которому мы приходим в силу
логической необходимости, должен давать результаты, качественно подобные
результатам, получаемым в классической теории. Существует не только
качественное сходство между квантовыми и классическими результатами; как
будет показано в следующих главах, имеет место тождественность в
формулировках, которая при использовании определенной схемы интерпретации
позволяет изложить предшествующие классические результаты на квантовом
языке.
В этой главе мы рассмотрим некоторые основные понятия квантовой механики,
лежащие в основе такого анализа, а именно гильбертово пространство,
линейные операторы, вычисление следа, обращая особое внимание на
статистическое описание квантовых состояний. Ниже будут рассмотрены
примеры для систем с конечным
98
ГЛ. 5, СТАТИСТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ
числом состояний, для систем, обладающих одной и конечным числом степеней
свободы, и, наконец, для некоторых систем с бесконечным числом степеней
свободы, которые необходимы для описания поля излучения,
§ 2. КВАНТОВЫЙ ФОРМАЛИЗМ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
Формулировка квантовой теории (как для самых простых, так и самых сложных
систем) влечет за собой представление наблюдаемых и различных
динамических переменных в виде линейных операторов, действующих в
гильбертовом векторном пространстве. Сами же векторы в свою очередь
соответствуют чистым состояниям системы.
Д. Гильбертово пространство
Гильбертово пространство во многих отношениях аналогично известному
трехмерному эвклидову векторному пространству. В элегантных обозначениях
Дирака [5.1] векторы гильбертова пространства обозначаются символами
"кет" (например, |ф)) с разными индексами. Как и в обычном векторном
анализе, различные векторы гильбертова пространства можно складывать или
умножать на комплексные скалярные величины и таким образом получать новые
векторы. Число линейно независимых векторов определяет измерение D
гильбертова пространства, которое может быть конечным или счетно
бесконечным. Определим для каждой пары векторов |ф) и |Я) комплексное
число
называемое скалярным произведением по аналогии со скалярным произведением
в векторном анализе. Это произведение линейно по вектору |ф) и
подчиняется двум условиям:
причем в последнем соотношении равенство имеет место в том и только в том
случае, когда |ф) = О (нулевой вектор). Неравенство Шварца означает, что
(М Ф) >
(5.1)
(Я | ф> = (ф | Я)*, (ф I ф) > О,
(5.2)
| (Я |ф) |2<<Я |Я> (ф! ф),
(5.3)
§ 2. КВАНТОВЫЙ ФОРМАЛИЗМ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
99
причем равенство имеет место, когда и только когда 1А) = а|ф) для
некоторого комплексного числа а. Если |ф)=0, то (А|ф) = 0 для всех |А) и
наоборот. Если для данных векторов |Я) и |ф), ни один из которых не
является нулевым вектором, (А|ф) = 0, то такие векторы называются
ортогональными. Величина, или норма, каждого вектора конечна и
определяется выражением
III Ф) II = (Ф I Ф)'/г ^ 0. (5.4)
Если норма равна 1, то векторы называются нормированными. Из (5.3)
непосредственно вытекает неравен-
ство
11|А> + 1Ф>[|<1!|Я>|| + |||ф)||. (5.5)
В каждом гильбертовом 'пространстве может быть введен "полный
ортонормированный базис", а именно набор векторов {|n)j, n= 1, 2, ..., D,
для которых (п\т) = 8пт и которые накрывают1) гильбертово пространство.
Каждый вектор |ф) можно разложить по набору векторов {\п)}:
D D
1ф) = 2 ф" \п) = 2| п)(п |г|}> (5.6)
п = 1 п = 1
в полной аналогии с разложением по ортонормирован-ному базису в
общепринятом векторном анализе. Квадрат нормы, выраженный через
коэффициенты разложения (5.6), имеет вид
(ф1ф) = 2 1ф"12= 2 (ф|п)(п|ф). (5.7)
П - 1 tl~ 1
Если D < оо, то коэффициенты фп могут быть произвольными комплексными
числами. Чтобы норма имела конечное значение при D = оо, сумма квадратов
коэффициентов {ф"} должна быть конечной. Далее, из свойства полноты
гильбертова пространства следует, что каждой последовательности с
конечной суммой квадратов отвечает определенный вектор |ф), причем этот
класс векторов полностью исчерпывает гильбертово пространство.
См. примечание на стр. 169. - Прим. ред.
100
ГЛ. 5. СТАТИСТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ
Последнее замечание является ключевым моментом, связанным с
представлением абстрактных векторов гильбертова пространства при помощи
последовательностей комплексных чисел; фактически именно такими были
первоначальный математический подход, развитый Гильбертом, и
первоначальная формулировка квантовомеханического описания, данная
Гейзенбергом. Можно сказать, что базисные векторы \п) "порождают"
представление вектора |ф) с помощью последовательностей комплексных чисел
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 129 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed