Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Наконец, рассматривая поле излучения в присутствии заданных внешних
источников, мы уже нарушаем лоренц-инвариантность. Это просто означает,
что внешние источники можно считать выделяющими определенную лоренцеву
систему координат. Поэтому уже нет необходимости сохранять явную
релятивистскую формулировку. Напротив, мы можем с выгодой воспользоваться
другой альтернативой - обычным нерелятивистским подходом, который
позволяет лучше понять физический смысл получаемых результатов.
§ 3. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ.
НЕРЕЛЯТИВИСТСКИИ АНАЛИЗ
А. Формулировка в конфигурационном пространстве
Начнем наше рассмотрение, переписав уравнения Максвелла в виде1)
Здесь Н = дН/д^ и т. д., и мы выбираем такую систему единиц, в которой
с=1. Первые два уравнения представляют собой самые настоящие уравнения
движения,
Н = -V X Е, Е = V X Н - j, V-H-0, V • Е = р.
(6.17)
(6.18)
') Не следует путать плотность заряда и матрицу плотности, которые обычно
обе обозначаются буквой р.
§ 3. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ. НЕРЕЛЯТИВИСТСКИИ АНАЛИ3135
тогда как два последних являются связями, т. е. условиями внутренней
согласованности, налагаемыми в каждый момент времени. Эти условия должны
выполняться, чтобы уравнения имели какое-нибудь решение.
Связь V • Н = О обычно "разрешают" с помощью соотношения Н = V X А, но
выбор А при этом не однозначен, поскольку величина А определена с
точностью до произвольного градиента. Так как мы уже отказались от явной
ковариантности, мы вправе выбрать удобное и важное для физики решение
этого уравнения связи, а именно такое, в котором присущая уравнению Н = =
V X А неопределенность была бы исключена с самого начала.
Чтобы найти такое решение, отметим прежде всего, что любое векторное поле
V (х) с хорошим поведением (операторное или с-числовое) можно разложить
на поперечную и продольную части
\ = \т + \L, (6.19)
которые обладают следующими свойствами:
V.Vr = 0, V х VL = 0. (6.20)
Несколько ниже мы укажем, как производится такое разложение, а пока
предположим лишь, что оно справедливо. Тогда видно, что связь V- Н = 0
является условием для HL и не налагает никаких условий на Нт.
Следовательно, несвязанные переменные Нг можно однозначно выразить через
новые переменные Ат:
Нг = V X Аг. (6.21)
(Тогда первое из уравнений Максвелла принимает просто вид Ат = -Ет.)
Остающиеся уравнения Максвелла запишутся теперь следующим образом:
?L=-f, V • EL = р и Ёг = V X Нг - jr.
Первые два из этих уравнений представляют собой просто формулировку
закона сохранения заряда. В действительности они не являются
динамическими, поскольку, как будет ясно из дальнейшего, EL определяется
как
136 гл. 6. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
функция координат и времени непосредственно через р. Третье же уравнение
является динамическим. Пользуясь общим операторным тождеством
У X (V X V) = V(V V)-V2V,
два основных динамических уравнения можно привести к виду
Аг = - Ег, (6.22а)
Ёг = - V2Ar- jr. (6.226)
Б. Формулировка в импульсном пространстве
Для наглядности проведем параллельный вывод уравнений (6.22) в импульсном
пространстве. Введем полевые переменные, зависящие от импульсов:
j" e~!'k'x H {x)d3x, (6.23a)
8 (k) = Q~'/2 | e~,k'xE (x) d3x, (6.236)
^(k)^Q-'/2 J e~'k'xj (x) d3x, (6.23b)
p (k) = Q~Vz f o tk xp (x) d3x. (6.23r)
Пока мы рассматриваем Q~'!l как некий еще не определенный нормировочный
множитель. Для каждой точки к импульсного пространства вводится тройка
взаимно перпендикулярных единичных векторов еДк), / = 1,2,3, таких, что
е3(к) • к = й= | к |. Это значит, что для каждого к О вектор е3(к)
параллелен к, тогда как еДк) и е2(к) ортогональны к. Всякое векторное
поле
У (k) = Q_,/* j e"/k'xV {x)d3x (6.24)
допускает при каждом к разложение
Пк) = 2] е,. (к) [е;. (к) • У (к)] = У г (к) + 7х (к), (6.25)
j
§ 3. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ. НЕРЕЛЯТИВИСТСКИЙ АНАЛИз137
где продольная и поперечная части определяются соотношениями
УЬ (к) = е3 (к) [е3 (к) • У (к)], (6.26а)
Гг (к)^е, (к) [е, (к) • У (к)] + е2 (к)[е2 (к) • У (к)]. (6.266)
Мы имеем два тождества
к • Ут (к) = 0, кхГ1(кИ, (6.27)
которые с точностью до множителя i являются просто формой записи
тождества (6.20) в импульсном пространстве. Заметим также, что если
положить
'Mj (k) = ik X stf? (к), (6.28)
то для <s4-T можно получить единственное решение следующим образом:
к X Жт (к) = г'к X [к X s4-T (к)] = -ik2??T (к),
ат (к) = -хуГ (^-. (6.29)
Полученные выражения можно непосредственно применить к уравнениям
Максвелла, причем необходимо произвести обычную замену V -> ik под знаком
преобразования Фурье. Преобразованные уравнения имеют вид
§?=-АХв, 8 = ikXK-cF, (6.30)
ik • = 0, ik • 8 = p. (6.31)
Уравнения связей записываются следующим образом:
ik-nL = 0, ik-8i = p; (6.32)
их решения можно написать сразу:
KL (к) = 0, 8L (к) = - . (6.33)
Эти уравнения выполняются в любой момент времени; мы видим, что плотность
заряда р(х, /) полностью определяет поле ЕL(x,t), как и отмечалось выше.
