Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
<4-42)
где W = dW/dt. Как и в гамильтоновой формулировке механики, уравнение
определяет последующее распределение р по заданным начальным условиям.
Для стационарного распределения W является постоянным, не зависящим от
времени оператором.
Удобно выразить W через кумулянты распределения (называемые также
семиинвариантами, или "связанными моментами"), которые выражаются как
нелинейные комбинации различных моментов случайных величин. Самое простое
соотношение между обычными и связанными моментами получается для
производящего функционала, который имеет вид
exp [W ({sj)] = <ехр (г 2 ^фй)> =
= exp {([exp (г sk$k) - !])"}, (4.43)
94
ГЛ. 4. СТАТИСТИКА ПОЛЯ
где (...) и (,..)св означают соответственно обычные и связанные моменты.
Из этого соотношения следует, что W можно разложить в ряд
Коэффициенты ряда представляют собой кумулянты. С помощью (4.43) их можно
выразить через обычные моменты. В частности, при разложении по степеням
s\ несколько первых кумулянтов определяются следующим образом (для одной
переменной фч = ф):
(Ф4)св = (Ф4> ~ 3 (ф2)2 - 4 (ф3) (ф) + 12 (ф2) (ф)2 - 6 (ф)4. (4.45г)
Для гауссовых процессов кумулянты выше второго порядка равны .нулю, В
случае приближенного анализа распределения (4.41) предпочтительнее, чтобы
были равны нулю кумулянты (а не моменты) высшего порядка, поскольку это
по существу соответствует анализу корреляций низшего порядка и
пренебрежению корреляциями высокого порядка. Такое описание часто
оказывается адекватным или по крайней мере является удобным отправным
пунктом [хотя, строго говоря, если W({sh}) представляет собой полином, он
должен быть второго порядка, чтобы соотношение (4.43) соответствовало
точной характеристической функции].
Как при точном, так и при приближенном рассмотрении, комбинируя (4.42) и
(4.44), можно получить соотношение
W (Ы) = ([ехр (г J] - l])cB =
со
(Ф)св = (Ф),
(Ф2>св = <Ф2> - <Ф>2,
<ф3)св = <ф3) - 3 <Ф2) <Ф) + 2 (ф)3,
(4.45а)
(4.456)
(4.45в)
оо
др "фа" = у (-1)'1 >,
Pii Z.A п\
д
Х { it ^ ' ' ¦ } р ({ф"})> (4.46)
§ 4. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
98
которое известно под названием стохастического уравнения. Если
суммирование обрывается при п = 2, тогда
(4.46) представляет собой известное уравнение Фокке-ра - Планка. В
диффузионном приближении все члены выше п = 2 опускаются, что и приводит
к уравнению Фоккера - Планка.
§ 4. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В заключение подчеркнем опять общность анализа флуктуационных уравнений с
помощью характеристических функционалов. Даже в "чистых" случаях (см.
выше п. 1 и 2), когда имеется неопределенность только в начальных
условиях, описанная методика приводит к совершенно общим решениям.
Например, для функционала
простое уравнение х = 0 принимает вид
Чтобы найти общее решение этого уравнения, заметим, что: 1) можно
ограничиться рассмотрением функций s(t'), которые обращаются в нуль для
достаточно больших положительных и отрицательных значений 2) для таких
функций однозначно определяются и моменты
а моменты в свою очередь однозначно определяют функцию; 3) функционал С
можно рассматривать как функцию величин sp, р = 0, 1, 2, ... . Согласно
правилу дифференцирования, получаем соотношение
С {s} = (exp (г j" s (f) х (t') dt' j)
(4.47)
(4.49)
6s (t)
оо
V 6sp дС
-J 6s (/) dsp
ОО
которое отображает полную временную зависимость. В соответствии с (4.48)
С может зависеть только от sa
96 ГЛ. 4. СТАТИСТИКА ПОЛЯ
и si. В частности, вследствие того что С является характеристическим
функционалом, имеем
C{s} = c(J s(t')dt', | t's (t') dt'^ =
= J exp | / [^o [ s(t')dt' + v0j f s (t') dt'^ p (x0, v0)dx0dvQ.
(4.51)
Естественно интерпретировать x0 и v0 как начальные координаты и скорость.
Заметим, в частности, что
С {s} = exp [ - а ( | s (t') dt'^j - b (| t's (/') dd'j j (4.52)
является решением уравнения (4.48), соответствующего независимым
нормально распределенным х0 и и0-
Хотя случай свободных частиц чрезвычайно прост, следует подчеркнуть, что
найденное общее решение
(4.48) содержит все решения с произвольными распределениями начальных
значений. Все представляющие интерес временные корреляции также можно
найти из решения, полученного в виде характеристического функционала.
Такие решения, как мы видели выше, представляют интерес даже в том
случае, когда на частицы действуют случайные силы. Отметим также то
обстоятельство, что в своем анализе мы ограничились рассмотрением
подходящего подкласса гладких функций и выбрали соответствующую
параметризацию (например, {sp}). Это может оказаться полезным и в более
общих случаях.
К динамическим уравнениям и их анализу с помощью характеристических
функций мы вернемся в гл. 9.
5
Статистические состояния в квантовой теории
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
До сих пор анализ электромагнитного поля (точнее, его идеализированного
представления в виде действительного скалярного поля V<г>) был сугубо
классическим. Статистический ансамбль, обусловливающий как эффекты
частичной когерентности при интерференции, так и непуассоновскую
