Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
конкретный вид U'(t), можно написать
t
U(t) = T exp
- j- J Ж (t') dt'
(6.15)
где в качестве начального момента мы произвольно выбрали ^о = 0. В этом
общем виде U(t) есть эволюционный оператор для произвольного зависящего
от времени эрмитового оператора Гамильтона <3^(0; именно такой оператор
U(t) нужно подставлять в приведенные выше формулы, начиная с (6.3).
Стоит, пожалуй, заметить, что для большей наглядности мы вели
рассмотрение без особых предосторожностей. Так как Ж в общем случае не
является ограниченным оператором, его нельзя применять к произвольному
вектору |ф); нельзя и образовать его коммутатор
132
ГЛ. 6. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
с произвольной матрицей р. Если гамильтониан Ж не зависит от времени, то
мы предполагаем, что он обладает требуемым свойством (называемым в
математике "самосопряженностью"), так что оператор ехр(-ИЖ/Ь) может быть
определен и фактически является унитарным. Значительно меньше известно о
том, какими свойствами должен обладать гамильтониан Ж(() для того, чтобы
соотношение (6.15) являлось определением унитарного оператора; такие
случаи мы рассматриваем эвристически. Однако, когда оператор U(t)
определен, каждое состояние и каждая матрица плотности в представлении
Шредингера или каждая ограниченная наблюдаемая в представлении
Гейзенберга будут эволюционировать именно так, как указано выше.
§ 2. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ.
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
При наличии внешних источников jv электромагнитное поле удовлетворяет
уравнениям Максвелла, которые в соответствующих (хевисайдовых) единицах и
во всем своем релятивистском великолепии имеют вид
где eMVa0 - полностью антисимметричный тензор Леви-Чивита. В квантовой
теории антисимметричное тензорное поле fuv и источники /v являются
эрмитовыми операторными функциями, а (6.16)-операторными уравнениями.
Чтобы существовало какое-либо решение, ток, очевидно, должен
удовлетворять закону сохранения д в/в = 0.
Если мы сможем найти операторные решения уравнений (6.16), то далее с
помощью не зависящей от времени матрицы плотности р можно будет выразить
различные ожидаемые значения, относящиеся к электромагнитному полю. В
настоящей главе мы рассмотрим первую часть этой общей программы.
(6.16а)
(6.166)
5 2. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ПРЕДВАРИТ. ЗАМЕЧАНИЯ 133
А. Общий подход к уравнениям поля
Здесь уместно обсудить общий подход к описанию квантованного поля
излучения, развиваемый в этой главе. Чтобы система уравнений (6.16)
представляла собой правильно поставленную задачу для FVv, необходимо
предположить, что есть заданное внешнее операторное поле, динамически не
реагирующее на распределение того поля, которое мы намереваемся
определить с помощью /К Нетрудно понять, что такая задача является в
значительной степени модельной и что она взята нами с педагогическими
целями в силу ее математической простоты. Существуют, однако, физические
ситуации, которые с хорошей точностью описываются как раз таким набором
уравнений. С подобной ситуацией мы встречаемся, например, в случае
существенно макроскопического источника, когда поле не может заметно
изменить его или, точнее говоря, когда не возникает когерентных и
макроскопических эффектов поля, достаточных для возмущения источника.
Такой подход приводит к тому, что мы исключаем микроскопическое
рассмотрение определенных явлений, но вполне согласуется с
феноменологическим подходом к большинству задач. Это нетрудно понять,
поскольку можно предполагать, что данное операторное поле ju совпадает с
операторным решением, определенным из невыписанной нами связанной системы
"полных уравнений поля". Таким образом, выводы, которые можно сделать на
основе "половины" уравнений поля, не содержат какой-либо принципиальной
некорректности.
Тем не менее мы введем важное упрощающее предположение относительно
процессов, обусловливающих появление источников jv. Поскольку нас
интересуют главным образом поля, генерируемые тепловыми источниками или
источниками типа лазера, можно считать, что источник в значительной мере
локализован в пространстве и во времени. Конкретнее, если говорить о
локализации во времени, то мы воспользуемся процедурой "адиабатического
включения", т. е. будем считать, что в отдаленном прошлом и далеком
будущем поле свободно и не связано с источниками. Поэтому наш подход
134
ГЛ. 6. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
будет неправильно описывать связь поля излучения с мириадами
микроскопических виртуальных процессов (например, с рождением электронно-
позитронных пар), так как обычно принято считать, что такие источники
присутствуют во всех точках пространства и времени. Следовательно, мы не
будем включать связь с виртуальными полями в наши источники, а вместо
этого сконцентрируем свое внимание на "конкретных" источниках (атомах и
т. д.), обусловливающих те процессы, которые мы пытаемся исследовать
Таким образом, мы приходим к необходимости наложить на наши решения
подходящие граничные условия в отдаленном прошлом и далеком будущем.
