Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
значений, соответствующих оператору С?1). Эти наблюдаемые значения имеют
разброс, т. е. обладают отличной от нуля дисперсией, если состояние ц|з)
не является собственным вектором оператора О. Но даже если вектор |г|})
есть собственный вектор для одного оператора, он не может быть
собственным вектором операторов, соответствующих всем наблюдаемым
физическим величинам (поскольку не все операторы коммутируют).
Следовательно, в любом чистом состоянии всегда некоторые наблюдаемые
величины испытывают случайный разброс, описываемый определенным
распределением. Таким образом, вероятностный подход неизбежен.
Два состояния мы считаем физически эквивалентными, если одинаковы средние
значения всех наблюдаемых величин (или все их характеристические
функции). Поскольку все эрмитовы операторы в принципе соответствуют
наблюдаемым величинам, функции Щи) и |ф2) отвечают одинаковым состояниям,
когда и только когда |фч) =егч)(ф2). Иначе говоря, jtfn) и |фг)
тождественны, если не говорить о возможном скалярном коэффициенте с
модулем, равным единице.
Чистое состояние можно описывать также с помощью матрицы плотности
р = |ф)(ф|; (5.23)
при этом правило расчета средних значений определяется следующим образом:
оо
<6?->^Sp(p6?)= 2<я|ф>(ф|С>> = <Ф|СЧф> (5.24)
П= I
в полной аналогии с (5.20). Поскольку матрица р имеет вид (5.15), она,
очевидно, является эрмитовой положительной матрицей с конечным следом.
Более того, поскольку функция (ф) нормирована,
р2 = |ф>(ф|ф)(ф| = ]ф>(ф] = р. (5.25)
') В дальнейшем всюду для краткости вместо этой полной формулировки
пишется "характеристическая функция О".- Прим. ред.
§ 2. КВАНТОВЫЙ ФОРМАЛИЗМ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
107
Матрицы плотности для двух физически эквивалентных чистых состоянии
строго тождественны: pi=|i|)i)(^i| = = | ф2) (Ф21 = Р2- В качестве резюме
отметим, что каждое чистое состояние системы может быть отождествлено с
положительной эрмитовой матрицей плотности р, для которой р2 = р и след
Sp(p) = 1.
Смешанные состояния. В общей теории вероятности обычно имеют дело с
множеством условных распределений. Предположим для примера, что
p(T\S,M,H) означает условное распределение температуры Т наружного
воздуха для штата S Соединенных Штатов в течение месяца М ив течение часа
Н дня. Однако если имеется "размазанная" статистика, относящаяся к
температуре Т утром Ж в течение лета 9 для всех штатов Новой Англии JfS,
то соответствующее (все еще условное) распределение определяется
усреднением
Такое усреднение ("размазывание") более чистых условий неизбежно приводит
к распределению, которое является более "широким", чем исходное.
Поучительно обратиться к более специальному примеру. Распределения
фотоэлектрических отсчетов, рассмотренные в гл. 2 и гл. 3, были выведены
в два этапа. Сначала с помощью соотношения (2.2) мы определяли условное
распределение отсчетов для интенсивности, имеющей значение I (t). Потом
нашли окончательное распределение отсчетов, усредняя условное
распределение по соответствующему распределению интенсивностей; см.,
например (2.10) или (3.1). Как уже несколько раз отмечалось, дисперсия
отсчетов при усреднении по интенсивности всегда возрастает1).
Способ, примененный для вычисления распределения отсчетов, иллюстрирует
удобный и наглядный метод
') Распределения (4.29) и (4.30) также, очевидно, являются условными
распределениями.
р (т \Лё, 9, Л) =
1
108
ГЛ. 5. СТАТИСТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ
определения любого распределения вероятности. Сначала необходимо
определить чистые распределения, т. е. такие условные распределения, в
которых все остальные существенные параметры постоянны, затем следует
провести усреднение по распределениям этих параметров.
Применим описанный способ для нахождения распределения наблюдаемых
значений произвольной величины О в квантовой теории. Каждое чистое
распределение, задаваемое своей характеристической функцией, определяется
соотношением
С6 (S I Ра) = SP (Рае<*(r)) = (Фа | eis@ I фа). (5.26)
Как видно из обозначений, это распределение условно по состоянию системы,
задаваемому матрицей плотности ра (или вектором |фа)). Если полные
сведения о состоянии системы отсутствуют, то следует провести усреднение
распределения (5.26) по различным ря. Обозначим через а набор неизвестных
переменных величин в ра и пусть р. (а) (с возможными 6-функциями)-
нормированное распределение значений а. Тогда, пользуясь линейными
свойствами следа, найдем соответствующую (и все еще условную)
характеристическую функцию
C6(s) = Ce{s |р) = J р (a) da Sp (paeis<3) =
= SP ([1 Р (a) Pa da\eis(S^
= Sp (peise), (5.27)
где
p e= j p(a)pada. (5.28)
Теперь независимо от того, какими являются фактически величины а или
каков вид распределения р(а), имеет место примечательное свойство матрицы
плотности р. Очевидно, матрица плотности р положительна, эрмитова и
удовлетворяет условию Sp(p)= 1. Таким образом, в соответствии с
замечаниями, сделанными в
§ 3. ПРИМЕРЫ СТАТИСТИЧЕСКИХ СОСТОЯНИЙ
