Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Весьма важные процессы, для которых распределение (4.29) совершенно не
зависит от изменений свойств ансамбля в прошлом, называются марковскими.
Все другие процессы носят название немарковских. В некоторых случаях
число начальных условий может быть увеличено настолько, что немарковская
система становится марковской. В качестве примера рассмотрим объем,
содержащий соударяющиеся молекулы газа. Положение одной молекулы можно
определить из уравнения
mx{t) - f{t), (4.31)
где случайная сила f описывает влияние других молекул. Очевидно, что
поведение x(t) в будущем зависит от предыстории случайной силы, поскольку
рассматриваемые молекулы все время взаимодействуют с другими молекулами.
Тем не менее этот процесс можно, конечно, представить как многомерный
марковский, если ввести примерно 1023 величин, необходимых для задания
распределения начальных условий для всех молекул.
На практике эту трудность обходят, предполагая, что соударения происходят
упруго, а значение случайной силы не зависит от ее предыстории (является
б-корре-лированным). Например, классическая задача о случайном блуждании
(винеровский процесс) описывается уравнением (4.31), если предположить,
что f(t) определяется выражением
(ехр [г | s (/') f (t') dt'j) = exp [ - -j a J s2 (t') dt'j, (4.32)
которое является частным случаем выражения (3.18) при m = 0 и р (v) =
4я2яг-2. Классическое броуновское движение также подчиняется уравнению
(4.31), но связано с
§ 3. МАРКОВСКИЕ И НЕМАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ 91
другим стохастическим процессом, характеризуемым выражением
(ехр J s {t') f (t') clt'j) = exp ^ ~ b j s2 (t') dt'
1, (4.33)
гдер(\') = 6. Этот процесс, характеризуемый постоянной спектральной
плотностью, часто называют "белым шумом". Что касается поведения
переменных х, то для задачи о случайном блуждании оно является
марковским, а для броуновского движения - немарковским. Чтобы броуновское
движение представляло собой марковский процесс, необходимо рассмотреть
условные распределения как координат, так и скоростей молекул. Различия в
этих случаях физически ясны. Следует отметить, однако, что когда
протекание процесса f(t') зависит от его предыстории (как это будет иметь
место, если изменить с помощью фильтра его спектр, так что / р (v)dv<oo),
процесс х не будет марковским и его нельзя превратить в таковой путем
задания любого конечного числа начальных условий.
В некоторых случаях физическая задача удовлетворяет марковским условиям
или соответствующей идеализации, относящейся к вынуждающим силам. Однако,
если эти условия не выполняются, следует учитывать немарковский характер
процесса, включая эффекты инерционности во взаимодействии между системой
и термостатом. Некоторые наиболее "очаровательные" стохастические задачи
соответствуют немарковским процессам.
Б. Соотношения для марковских процессов
В частных случаях марковских процессов можно вывести несколько важных
соотношений для условного распределения. Обратимся опять к распределению
(4.29), но изменим предысторию ансамбля, рассматривая среднее значение
II б [фг - (т, (U; (U 0)]).
i
(4.34)
92 ГЛ. 4. СТАТИСТИКА ПОЛЯ
Здесь наложено ограничение на предшествующее поведение вынуждающих сил, а
именно мы считаем, что оно согласуется с эволюцией параметров поля от
значения {А,} в нулевой момент времени до значения {ф(}
в момент времени т. Согласно предположению о марков-
ском характере процесса, это изменение не должно влиять на результат
(4.29), за исключением возможного появления численного коэффициента А,
связанного с отсутствием нормировки ансамбля. Таким образом, среднее
значение (4.34) должно иметь вид
/Д{фД t I{фД т) А. (4.35)
Далее, полагая t = т и используя (4.28) [ср. (4.30)], нетрудно получить
А = р ({фД, т | {АД, °)- (4-36)
Интегрируя (4.34) по переменным {фД и пользуясь свойством 6-функций в
подынтегральном выражении, получаем известное уравнение Колмогорова -
Чепмена
J • • • / Р ({фД 11 Ы, т) р ({фД, т I {АД 0) dNift =
= (Ш[%-ад {fm): (U 0)]) =
= Р(Ш, И {АД 0). (4.37)
В дифференциальной форме эго уравнение имеет вид
= /•••/ К ({фД Ы) р (Ш) dNФ" (4.38)
где не играющие роли аргументы опущены и введено интегральное ядро
К ({фД Ы) = jj р ({фД 11 {фД, т) |т=г (4.39)
Для стационарного распределения К не зависит от времени.
Действие интегрального ядра можно представить также другим образом, а
именно посредством дифференциального оператора, который в некоторых
случаях можно адекватно аппроксимировать оператором конеч-
§ 3 МАРКОВСКИЕ И НЕМАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ 93
ного порядка. Общее выражение для такого дифференциального оператора
можно получить следующим образом. Обозначим характеристическую функцию
распределения р ({фй}) через
С ({sfc}) = exp [W ({sfe})] = (exp [i sk\=
= J ... J exp (г J] p ({фД) dN\|)fe; (4.40)
тогда P ((фЛ) =
= (2я)"Л' J . .. J exp [- / Sfeipfe + W ({sfe})] dNsk. (4.41) Из
последнего соотношения непосредственно следует
= (2лГ'Д ... J r({sj)exp [-/+ 'Г(ЬЛ)]^ЛГ5Й =
... J exp [ -1 2 sk\h + W ({sfe})] dNsk =
