Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
функцию) \А') для значения А' эрмитовых операторов А с непрерывным
спектром. Мы не будем пользоваться такими векторами, подчеркнем только,
что неосмотрительное их применение может иногда приводить к
неприятностям. Пусть, например, А и В - эрмитовы операторы, которые
удовлетворяют соотношению АВ = BA + iB, и пусть для некоторого
действительного А' имеет место соотношение А \А') = А'\А'). Тогда В\А')
также является собственным вектором оператора А с комплексным собственным
значением А' + i, что противоречит свойству эрмитово-сти оператора А.
Чтобы избежать этих затруднений, считают либо |А'), либо В\А')
ненормированным.
Предположим, что в бесконечномерном пространстве (D = оо) мы
рассматриваем положительный эрмитов оператор, который обладает полным
набором собственных векторов и собственных значений (5.13). Тогда
оператор А можно представить следующим образом:
оо
А = Ъ\ап) ап(ап\, (5.15)
П = i
где коэффициенты ап > 0 действительны. Если ап < b < оо, то оператор
А ограничен, в противном случае
нет. Важный частный случай ограниченных операторов
мы имеем, когда
оо
2 ап<оо. (5.16)
П= 1
В этом случае существует след оператора А, а именно Sp(4)= 2 (ап\А\ап}= 2
ап<°о, (5.17)
П=\ П - 1
и А называют оператором с конечным следом (traceable). В связи с этим
результатом можно привести несложную математическую теорему: для
положительных эрмитовых операторов Л значение Sp(H) не зависит
104
ГЛ. 5. СТАТИСТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ
от того, какой полный ортонормированный базис используется для оценки
суммы (например, это могут и не быть собственные векторы данного
оператора). Таким образом, значение следа Sp(^4) является свойством,
присущим непосредственно самому оператору. Далее, более сложная
математическая теорема утверждает, что если оператор А положителен и
эрмитов, а его след Эр(Л) конечен, то такой оператор обязательно обладает
полным ортонормированным набором собственных векторов и соответствующих
собственных значений, для которых выполняются (5.15) и (5.16).
В случае пространства с бесконечным числом измерений класс операторов, у
которых существует след 5>р(Л), не ограничен рассмотренными положительно
определенными эрмитовыми операторами. Однако каждый оператор Т с конечным
следом имеет полярное разложение (polar decomposition) Т = VA, где А -
положительный эрмитов оператор с конечным следом вида (5.15) и оператор V
- изометрический, т. е. обладающий свойством V'V = I. Такое разложение
является аналогом полярной формы г = е^г, справедливой для произвольного
комплексного числа z. Оператор V обладает следующим свойством: он
преобразует любой ортонормированный набор векторов {|фп)} в другой
ортонормированный набор векторов С учетом соот-
ношения (5.15) отсюда следует, что каждый оператор Т с конечным следом
допускает каноническое разложение
оо
т= 2 |ЬП)МЧ> J. (5.18)
П - 1
где ^ 0 - действительные коэффициенты, удовлетво-
оо
ряющие условию 2 а (|^")} и {|фп>} - полные
/2 = 1
ортонормированные базисы. Соотношение (5.18) можно также рассматривать
как каноническое определение таких операторов, для которых след можно
найти однозначно. Отсюда, в частности, следует
оо
sp (П = 2мч>я|ь">. (5-i9)
/2=1
§ 2. КВАНТОВЫЙ ФОРМАЛИЗМ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
105
Этот ряд сходится абсолютно и в силу неравенства Шварца (5.3) ограничен
величиной
оо
isptnKSfc^imi,.
п = 1
Это выражение определяет полезное понятие "следовой нормы" (trace-class
norm), относящееся к операторам Т с конечным следом; оно отличается от
понятия нормы оператора \\Т\\. Соотношение (5.17) показывает, что для
положительных эрмитовых операторов с конечным следом Sp(4) = Ц^4111,
тогда как в остальных случаях имеет место неравенство. Каноническое
разложение (5.18) и следовая норма ИЛЬ используются в гл. 8.
В гильбертовом пространстве с конечным числом измерений (D < оо) каждый
оператор имеет конечный след. Следовательно, каждый оператор допускает
каноническое разложение, подобное (5.18), но содержащее только первые D
членов.
В. Статистические состояния
Чистые состояния. В квантовой теории нормированные векторы 1 гр)
гильбертова пространства соответствуют чистым состояниям системы. Пусть
эрмитов оператор О соответствует наблюдаемой физической величине, тогда
среднее значение (У в состоянии |ф) равно действительному числу
<Л>^<ф|Л|ф>. (5.20)
В свою очередь высшие моменты О определяются действительными выражениями
<(Г> = <Ч,|<?п|ф>. (5.21)
Если оператор О неограничен, то для некоторых состояний значения {(Уп)
могут быть неопределенными.
Однако, как и в классической теории вероятности, ха-
рактеристическая функция распределения (У в состоянии |ф), задаваемая
соотношением
С(c)(5) = (ф1ег5(r)[ф), (5.22)
где оператор ехр(шЛ) унитарен, всегда определена для любых О и |ф).
106
ГЛ. 5. статистические состояния
Как обычно, каждая характеристическая функция С(c) (s) представляет собой
непрерывную функцию s и является фурье-образом распределения наблюдаемых
