Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Е = Sp (РЖ) = h % щцк, (5.78)
в то время как характеристическая функция для ? равна
CE(s) = Sp(pe's3f) =
' *
= exp 2 (exp [ihd)ks] - 1) pk
(5.79)
Для нескольких осцилляторов можно получить формулу, подобную (5.63),
пользуясь разложением единичного оператора
оо
/= 2 IWXW1. (5.80)
{nk}=0
Таким образом, любую матрицу плотности р можно представить в виде
оо
Р= 2 | Ю) р(К}, "})<"} |. (5.81)
г*}- К)
где
Р (М> К}) = <{mk\ I Р I {<))¦ (5-82)
§ 3. ПРИМЕРЫ СТАТИСТИЧЕСКИХ состоянии
121
Эти коэффициенты удовлетворяют очевидным требованиям эрмитовоети,
положительности и конечного значения следа, которые записываются по
аналогии с (5.65) и (5.66).
Г. Статистические состояния для бесконечного числа осцилляторов
Теперь рассмотрим переход (К -+ оо) к бесконечному числу осцилляторных
степеней свободы Q/,, Pk, k = = 1, 2, . при физически естественных
предположениях, что оператор полного числа частиц
оо
N=2>Nk (5.83)
!
и оператор полной энергии
оо
Ж = S rmkNk (5.84)
k=i
остаются хорошо определенными. Для правомерности этого достаточно, чтобы
полный ортонормированный базис в гильбертовом пространстве состоял из
собственных векторов операторов числа частиц
l"i. "г. ••¦) = I {"J). (5.85)
для каждого из которых собственные значения удовлетворяют условию
оо
(5.86)
и=\
Это означает, что для любого такого базисного вектора
1Ы) только конечное число собственных значений nh
положительно. Такие последовательности {щ} снова являются счетными, так
что применимо общее рассмотрение.
Следует отметить, что, помимо векторов, удовлетворяющих условию (5.86), в
гильбертовом пространстве существуют другие векторы, для которых числа
заполнения для всех осцилляторов не равны нулю. Например,
122
ГЛ. 5. СТАТИСТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ
если {nh} - {б/г(} (т. е. щ = 1, а все другие щ обра-
щаются в нуль), то выражение
оо
H>> = StI{6"" (5-87^
представляет собой настоящий нормируемый вектор, для которого
<ЛГ*> = <1ИЛГ*|ф> = -р->0 (5.88)
при любом 1. Разумеется необязательно, чтобы значение (Л'ь) стремилось к
нулю для больших k. В качестве контрпримера достаточно заменить Ьы на
/4бы- Для такого состояния (Nh) = k2 и, следовательно, (jV) = оо.
Заметим снова, что для любой матрицы плотности р и эрмитовой наблюдаемой
О соответствующая характеристическая функция (5.30) является непрерывной
по s. Применяя ее к оператору числа частиц N, получаем, что функция
CN (s) = Sp (ре"") (5.89)
должна быть непрерывна по s. В свою очередь это свойство может
накладывать ограничение на набор параметров, описывающих данную матрицу
плотности. В частном случае многомерного пуассоновского распределения из
условия непрерывности функции
Сдг (s) = exp вытекает, что
2 {els- l)pfe
exp [(eis - 1) (N)] (5.90)
(5.9!)
k=\
Таким образом, не всякая последовательность {цД средних (пуассоновских)
чисел заполнения приводит к матрице плотности; это справедливо только для
последовательностей, удовлетворяющих условию (5.91).
Далее, чтобы установить непрерывность по s функции
Ce(s) = Sp (peis3C) (5.92)
§ 3. ПРИМЕРЫ СТАТИСТИЧЕСКИХ СОСТОЯНИЙ 123
для многомерного пуассоновского распределения, следует рассмотреть
функцию
2 (ехр [ih(s>ks] - 1) цк
А = 1
СЕ (s) = ехр Из неравенства
оо
2 I ехр [itmks] - 1 <
(5.93)
2 (ехр [/fioofts] - l)pfe
k~l
oo
< 2 2 = 2 (jV> < °° (5.94)
следует, что при выполнении условия (5.91) функция (5.93) непрерывна.
Отметим, что это условие не приводит к требованию о конечности значения
оо
? = й 2 WfePfe, k=i
хотя несомненно, что в физических системах Е < оо.
Качественно аналогичные условия применимы к тепловому распределению
бесконечного числа осцилляторов. Для характеристической функции оператора
N из (5.58) находим
оо
(I - ехр [ - PfitOfe])
(1 - ехр Г - pfico. + is] )
k=*l
Функция CN(s) непрерывна, если произведение сходится к ненулевому
значению. Для проверки сходимости можно применить теорему фон Неймана,
согласно кото-
оо
рой произведение Д г&, в котором все гьф 0, сходится
k=I
к ненулевому значению, когда и только когда
оо
2l 1 -Zfe|<00.
k-\
Поскольку cos > 0, ни один множитель в (5.95) не равен нулю, и названная
теорема применима. Рассматриваемая
124
ГЛ. 5. СТАТИСТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ
сумма сходится, если 1 - exp ( -
1
1 -
1 - exp ( - + w)
со ,
_ у exp ( - pfi(Ofe) | 1 - els |
- jmJ | 1 - exp ( - flficafe 4- is) | "'v
oo
^2 ^ exp ( - рЛоз/е) < oo. (5,96)
k-1
Как нетрудно видеть, условие (5,96) является необходимым и достаточным. В
следующей главе будет показано, что условие (5.96) может выполняться
и для ос-
цилляторов поля излучения.
Наконец, по аналогии с (5.96) нетрудно убедиться, что для непрерывности
характеристической функции энергии
СЕ (s) = Sp (ре^) = Д (5-97)
необходимо и достаточно выполнения условия
оо
2 exp(-pfia>fc)<oo. (5.98)
к = 1
Помимо рассмотренных примеров, существует много других матриц плотности,
часть из которых мы рассмотрим в следующих главах. Пока, имея в виду
соотношения (5.85) и (5.86), можно считать, что соотношения
