Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Wb^Wc-{5}=2Wbsw=
= 2 -A. [S (х) + Тб (х - х%_0 = 26 (* - х'У, (4.23)
§ 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФЛУКТУАЦИОННЫХ УРАВНЕНИИ 87
следовательно, в частности
^ С, {S}-25(0) = ".
Однако вторая функциональная производная в одной точке не обязательно
дает бесконечность. Например, функция
С2{5} = (| Е0 (x)S(x)d4xJ,
где ?о(*) - заданная гладкая функция, приводит к значению
62С2{S} Пр2, v -щ^г-2Ео(х).
Для правомерности выкладок будем считать, что функционалы имеют
необходимые производные.
Теперь нетрудно преобразовать (4.15) в уравнение для характеристического
функционала. Из (4.19) элементарно получаются соотношения
(" 1 6S (х) ) ^ =
= (Vp (х) exp | i j [S (y) V(y) + s (у) f (t/)] d4y }), (4.24a) = (fq {x)
exp | г | [S (IJ) V (y) + s{y)f (y)\ cl4у j), (4.246) откуда ясно, что С
удовлетворяет уравнению
-шйкс-{[-'йтл]1+[-'злц]}с
или, после сокращения на общий множитель г,
D<gWcis-s>-[- "CF + 4dctS's>' (4-25)
Решение, которое мы ищем, удовлетворяет уравнению
(4.20) и обладает хорошим поведением для больших значений 5(х).
Функциональное дифференциальное уравнение содержит всю бесконечную
цепочку связанных
88
ГЛ. 4. СТАТИСТИКА ПОЛЯ
уравнений (4.18). Действительно, эти уравнения можно получить
непосредственно из (4.25), разлагая экспоненты в степенной ряд и
приравнивая соответствующие степени после выполнения необходимых
функциональных дифференцирований
С практической точки зрения число точно разрешимых нелинейных уравнений
вида (4.18) или (4.25) очень мало. Вообще говоря, уравнения (4.18)
предпочтительнее, поскольку в этом случае легче ограничить бесконечную
цепочку уравнений и получить систему, допускающую приближенные решения.
Способы решения функциональных дифференциальных уравнений типа
(4.25) пока не разработаны.
§ 3. МАРКОВСКИЕ И НЕМАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Д. Определения и различия
В теории стохастических процессов существуют задачи, описание которых во
многих отношениях аналогично гамильтоновой формулировке классической
механики или классической теории поля. Такое описание характеризуется
набором N уравнений первого порядка по времени, решения которых
однозначно определяются тем же числом начальных условий. Для анализа
таких уравнений обычно необходимо удвоить число основных переменных
величин, так же как в классической механике, в которой число координат xh
удваивается при переходе к переменным xh и ph в фазовом пространстве. Для
наших целей такие уравнения первого порядка можно записать в общей форме
= if ml t), (4.26)
где k=\, ..., N. Здесь поле V и его временная производная представлены в
виде двух полей, входящих в совокупность {фД. Функции /," соответствуют
феноменологически вводимым случайным вынуждающим силам. В соответствии с
гамильтоновым приближением предположим, что все аргументы функций Fh
берутся в одно и то же время (хотя они могут относиться к различным
областям пространства). Далее будем рассматривать только временные
свойства уравнений (4.26).
§ 3. МАРКОВСКИЕ И HEMAPKOBCKIIE ПРОЦЕССЫ
89
Для заданного набора вынуждающих сил уравнения
(4.26) приводят к однозначной зависимости величин от их значений в
предшествующие моменты времени. Если же силы {fm} имеют стохастический
характер, то уже нельзя считать, что поведение распределения величин ф/{
в данный момент однозначно определяется их распределением в некоторый
предшествующий момент. Чтобы сделать смысл этого замечания более ясным,
введем обозначение
yk(t)=Wk(t,{f,ny,{<p,},T) (4.27)
для того решения уравнения (4.26), которое соответствует заданной
предыстории вынуждающих сил и удовлетворяет при t = т начальному условию
= ФА, (4.28)
не зависящему от {fm}. Тогда распределение величин фА в момент времени t
формально определяется соотношением
Р ({Ф/J. 11 {фД, т) е= / Д б [tpfe - фй (01) =
N k
= (Г1 б [фк - % (/, {fm}; {фг)> *)])¦ (4.29) При t = т распределение
имеет следующий вид:
Р ({Ф*}. Т I {ф/J, Т)-/Пб (ф/е - фfc)) = П б (ф* - фД, (4.30)
4 к ' k
что дает нам основание рассматривать (4.29) как условное распределение
(см. следующую главу). Для времен t > т распределение величин р в силу
(4.29) отражает особенности ансамбля вынуждающих сил {/т}. Каждое решение
(4.27) зависит от значений вынуждающих сил только в интервале т, /.
Однако эти значения, соответствующие данному моменту времени, можно
связать с событиями в предшествующие моменты (т. е. для t<т). В этом
случае р ({ф/J, t\ {ф/J, т) зависит не только от начальных условий (фД в
момент времени т, но и от свойств ансамбля в прошлом.
Для проверки этих зависимостей можно представить себе избранные изменения
ансамбля случайных
90
ГЛ. 4. СТАТИСТИКА ПОЛЯ
вынуждающих сил. Для этого будем отбрасывать предыстории, которые в
прошлом не удовлетворяли какому-либо условию, а затем рассчитаем значение
(4.29) в модифицированном ансамбле. Такие изменения будут влиять на
р({фДД |{ф,}, т) в большей или меньшей степени, что может служить мерой
независимости ансамбля случайных сил от свойств в прошлом.
