Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
квантовомеханической системы задается матрицей плотности р и с ее помощью
определяются различные распределения вероятности. Матрица плотности р
может параметрически зависеть от ряда величин, например температуры,
времени и объема, в который заключена система. Эти параметры
характеризуют условные свойства матрицы плотности, подобно тому как
аналогичные параметры представляют собой условные переменные в
классических выражениях для плотности вероятности.
В гл. 4 мы подчеркивали, что марковские процессы играют важную роль в
классической теории вероятности. Для марковских процессов функция
распределения в будущем линейным образом определяется через функцию
распределения в настоящем. Другими словами, функция распределения
подчиняется линейному дифференциальному уравнению первого порядка по
времени - стохастическому уравнению.
В квантовой механике марковские системы играют столь же фундаментальную
роль. В этом случае состояние системы подчиняется линейному уравнению
первого порядка, которое является просто обычным уравнением Шредингера. В
частности, для состояния |ф) = |г|з(/)) уравнение Шредингера имеет вид
Hi ~§f I Ф) = 2% I Ф)> (6.1)
где Ж- гамильтониан системы. Этот оператор эрмитов, и, кроме того, здесь
мы предполагаем, что он не зависит
§ 1. РАЗВИТИЕ ВО ВРЕМЕНИ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ 129
от времени. Для матрицы плотности чистого состояния р= |ф)(ф|; отсюда
следует уравнение
Й-|-р = [50,р]. (6.2)
В силу линейности отсюда непосредственно получаем, что все (или почти
все) матрицы плотности подчиняются тому же линейному уравнению движения
(6.2).
Можно найти символическое решение уравнения (6.1):
| ф (0) = | у (0)) = U (t) | ф (0)). (6.3)
Так как гамильтониан эрмитов, эволюционный оператор U(t), преобразующий
начальное состояние 1ф(0)) в |ф(0), унитарен и поэтому сохраняет норму
состояния. Из этого формального решения легко получить выражение для
матрицы плотности чистого состояния:
р (0 = IФ (0) <Ф (01 = и (01 ф (0)) <ф (0) | и (t)-1 =
= U(t)9(0 )U(t)~l. (6.4)
Из линейности следует, что решение для произвольной матрицы плотности
дается тем же соотношением
р(0= U {t)p{0)U (6.5)
Отметим, что такой подход, в котором рассматривается эволюционирующее во
времени состояние системы, носит название представления Шредингера; этот
подход наиболее соответствует понятиям классической теории вероятности.
Существует, однако, альтернативный способ рассмотрения временной
эволюции, который оказывается удобным в ряде случаев. Происхождение
этого способа связано с тем, что предсказания теории, которые могут
быть проверены на эксперименте, определяются исключительно средними
значениями различных операторов в соответствующем статистическом
состоянии. Имея это в виду, можно следующим образом переписать выражение
130
ГЛ. 6. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
для зависящего от времени среднего значения произвольной наблюдаемой:
(С? (0) ^ Sp [р (0 0] = Sp [и (t) pU W"1 ] =
= Sp [ри (t)~l 0U (0] - Sp [рО (t)]. (6.6)
Здесь использована инвариантность следа при циклических перестановках
операторов. Кроме этого, в (6.6) мы просто положили р = р (0) и
определили зависящую от времени наблюдаемую 0 (t) соотношением
0(t) = U~l(t)0U(t). (6.7)
Следовательно, можно получить выражение для всех
средних значений, если вместо того чтобы рассматривать эволюцию оператора
р, описываемую соотношением (6.5), принять, что каждая наблюдаемая 0
эволюционирует согласно (6.7). Такой способ описания временной эволюции в
квантовой механике называется представлением Гейзенберга.
Следует обратить особое внимание на различие между этими двумя
эволюционными уравнениями. В дифференциальной форме они имеют вид
й-|-р = [^, р], (6.8)
-Ш±0-[3(r), О]. (6.9)
Применимость того или иного уравнения в данной задаче зависит от того,
каким представлением мы пользуемся. Ниже в этой главе мы будем
пользоваться представлением Гейзенберга.
Когда гамильтониан зависит от времени (что вполне возможно при наличии
внешних источников), то почти все предыдущие уравнения остаются
справедливыми, если под Ж понимать M{t). Существенно изменится только
определение эволюционного оператора U(t) через 2S(t). Будем считать для
простоты, что гамильтониан ШЦ) кусочно-постоянен, т. е.
§ 1. РАЗВИТИЕ ВО ВРЕМЕНИ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
131
Тогда правильное выражение для унитарного эволюционного оператора U(t),
ti^Ct < ti+i имеет вид
U (t) = е~1 П e~iAi^'/h. (6.11)
/=о
Это выражение, вообще говоря, отличается от оператора
U' (t) = exp
i-i
1=0
(6.12)
Истинное решение (6.11) удовлетворяет уравнению
i+1 >
(6.13)
как и следовало ожидать; в то же время U', вообще говоря, не
удовлетворяет этому уравнению.
Удобно ввести упорядочивающий по времени оператор Т, определяемый
соотношением
U(t)^T{U'(t)). (6.14)
Этот оператор формально упорядочивает различные члены, входящие в
разложение U'(t), таким образом, что во всех произведениях операторов
множители берутся в порядке возрастания временных аргументов. Используя
