Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
выражением
оо
Р = 2 PJ П) {п |. (5.54)
/г=0
Для гармонического осциллятора, находящегося в тепловом равновесии при
температуре Т (или обратной температуре р=1//с7', где к - постоянная
Больцмана), вес равен
= (1 - е~п$Ла, (5.55)
поскольку (как показано в следующей главе) оператор энергии, или
гамильтониан, Ж = ficoiV, и поэтому
116 ГЛ. 5. СТАТИСТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ
собственные значения энергии Е" = йсоп. Для среднего числа заполнения в
тепловом состоянии получаем
(N) = Sp (рЛО = 2 пе~п^а( 1 -e~Vha>)-
п=О
= - <5-56)
где, введя г/ = ехр(-|Зйсо), мы использовали соотношение
и-0)2 я0п=(1-0)0^-2^":
гс = 0 гс=0
= d-i/)rd 1
1 - У 1 - У У~ В результате находим
Характеристическая функция для оператора Л/ имеет вид
Су (s) = Sp (ре1'5") = 20- (Pto~''s) =
п - О
~ 1 _ е-P*to + iis '
(5.58)
В следующих главах мы будем интересоваться случаями, когда рп в (5.54)
соответствуют распределению Пуассона
= (5.59)
При этих условиях среднее число частиц равно
оо
(N) = Sp (р/V) = 2 77 = ^ ^5-60^
§ 3. ПРИМЕРЫ СТАТИСТИЧЕСКИХ СОСТОЯНИИ 117
а для характеристической функции оператора N имеем
оо
CN (s) = Sp (peis V) = У] ~ pneisne~" =
n = 0
= exp[(eI,s-l)p], (5.61)
т. e. она похожа на чисто классическое выражение (2.3).
Имеется большое число других матриц плотности, которые тоже могут
представлять интерес. Хотя все такие матрицы имеют каноническое
разложение (5.29), иногда удобно применять другую форму записи и выражать
их через собственные состояния | т) оператора числа частиц, имеющие
важный физический смысл. Для каждого вектора |фп), входящего в (5.29),
.можно написать разложение
оо
1Ф\г> = 2 Фгг, т\т), (5.62)
m=Q
так что
оо
Р = 2 I Фи) Рга (Фп I =
п=1
оо оо
= 2 2 Ф", m I rn> <mr | ф; =
п=1 т, т'=О 00
= 2 | т) р (яг, т') (т' |, (5.63)
т, т'=0
где, очевидно,
оо
р (т, т') = 2 Ф" тР"Ф" т' = (т I р Iт')- (5-64)
П=1
Последняя форма в соотношении (5.63) соответствует матрицам самого общего
вида. Чтобы матрица р была в действительности матрицей плотности, она
должна обладать следующими свойствами: 1) матрица р должна быть
эрмитовой, р (т', т) = р (т, т') *; 2) должна быть положительной сумма
со
2 стр {т, т') ст, Д 0 (5.65)
т, т'-О
118 ГЛ. 5. СТАТИСТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЙ
(при условии что сумма квадратов коэффициентов {с,,} конечна); 3) след
оператора р должен быть конечным:
21рК я)= 1- (5.66)
т=О
При р (т, т') = Pm6m т, приходим к рассмотренному выше частному случаю
(5.54).
В. Статистические состояния нескольких осцилляторов
Рассмотрим К независимых осцилляторов с угловыми частотами (ah,
ft = 1,2, ..., К. Каждый осциллятор
описывается своими операторами координаты Qu и импульса Ри,
удовлетворяющими соотношениям
[Qb Qfe'l = [Pk, РА = 0. (5.67а)
[Qfc. РА = ihbkk, (5.676)
Введем для каждого осциллятора операторы уничтожения и рождения
"*-(тг)4<2* + '(-Ц?г)Л,>'. <5'68а)
<5-68б)
и соответствующие операторы числа частиц
Nk^alak, ft =1,2........../С- (5.69)
К каждому в отдельности из рассматриваемых осцилляторов полностью
применим проведенный выше анализ. Существенно отметить то обстоятельство,
что собственные векторы какого-либо одного оператора Nk не накрывают
всего гильбертова пространства (поскольку теперь представление для любого
из операторов Qh и Pk приводимо). Если же предположить, что набор Qk,
Pi,, ft =1,2, ..., К, является неприводимым, то тогда
§ 3. ПРИМЕРЫ СТАТИСТИЧЕСКИХ состоянии
119
набор единичных собственных векторов всех операторов Nh, обозначаемый
\пх, п2, . . ., пк) = \{пк}), (5.70)
образует полный ортонормированный базис1)
Многие результаты, полученные выше для одного осциллятора, легко
обобщить. Чистые состояния с определенными числами заполнения
определяются выражением
ры = 1ЫХК}|. <5-71)
а частный класс матриц плотности имеет вид
оо
p-{nS0PMIWXK)l- <5-72>
Последняя форма, конечно, эквивалентна общему выражению (5.29), поскольку
набор всех последовательностей {nh} счетен.
Особый интерес представляет тепловое распределение К независимых
осцилляторов, для которых гамильтониан имеет вид
к к
Ш = 2 h(r)ka\ak = 2 ha>kN.. (5.73)
В этом случае
к
hnk} = Д ^ ~ еХр ^ ~~ ) ехР ( - Пк№щ). (5.74)
В результате получаем выражение
Ё = Sp (рЖ) = ^ ехр _ j , (5.75)
') Эти соображения можно изложить несколько иначе, а именно исходить из
того, что Ni, N2, , N к образуют полный набор
коммутирующих операторов, собственные векторы которых однозначно
определяются (с точностью до несущественного общего фазового
коэффициента) набором соответствующих собственных значений.
120 ГЛ. 5. СТАТИСТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ
которое представляет собой сумму выражений (5.57), записанных для
различных частот. Характеристическая функция Е имеет вид произведения
Се М " SP<(*"*) - П 1-"рГ-НФ-И)| ¦ <5-76>
что указывает на независимость вклада от каждого осциллятора.
Для многомерного пауссоновского распределения, для которого
к
РЫ" П ТЕГ(->**)¦ (5'77)
k=i k
средние числа заполнения, очевидно, равны (Nk) = pft. Следовательно,
снова применяя (5.73), получаем _ к
