Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
фп = (я|ф). В обозначениях Дирака скалярное произведение равно
<МЧ>)=2<Мп)<п|ч>) (5.8)
П=* 1
по аналогии со скалярным произведением обычных векторов, выраженным через
их компоненты.
Б. Линейные операторы
Наблюдаемые и динамические величины представляются линейными операторами,
т. е. линейными преобразованиями, превращающими один вектор в другой.
Иначе говоря, если А представляет собой оператор, тогда Л|ф) является
преобразованным вектором, а (Х|Л|ф)-его скалярным произведением с
вектором |Х). Операторы можно складывать, а также умножать на комплексные
числа или на другие операторы, получая таким образом новые операторы.
Единичный оператор I оставляет все векторы и операторы без изменений. Для
краткости мы будем часто писать численный коэффициент с, в
действительности означающий оператор с/1).
Если для всех нормированных векторов |Х) и |ф)
! (Х\ A j ф) | Ь < оо, то оператор А называется ограниченным. Наименьшее
значение b называется нормой оператора А и обозначается ||Л||. В
конечномерном гиль-бертозом пространстве каждый оператор ограничен,
однако это не справедливо для пространства с беско-
*) Динамические величины удобно обозначать как "^-числа" при квантовом
рассмотрении и как "с-числа" при классическом рассмотрении. Часто
оператор, равный произведению единичного оператора на число, также
называют с-числом.
§ 2. квантовый формализм и обозначения
101
нечным числом измерений. Детальное изучение неограниченных операторов
представляет собой серьезное математическое исследование, поэтому мы
вынуждены рассматривать такие операторы эвристически, обращаясь главным
образом к физической интуиции. Появление используемого ниже не вполне
четкого понятия "почти все" (suitably many) как раз и связано с
трудностями, обусловленными неограниченными операторами.
В представлении гильбертова пространства последовательностями {фп}
оператору А соответствует матрица {Атп} с элементами
Атп ~{т \ А\п). (5.9)
Элемент Атп можно интерпретировать как т-ю компоненту вектора А\п). Из
(5.6) и (5.9) следует, что вектор Л|ф) в свою очередь может быть
представлен с помощью последовательности {(Лф)т}> где
D
(Лф)т = (т [ Л | ф) = 2 (т | Л | п) (п | ф> =
п - I D
= Е Атпф". (5.10)
п = 1
Очевидно, что единичному оператору / соответствует единичная матрица,
поскольку {т\1\п) = (т\п)= Ьтп-В обозначениях Дирака имеем следующее
основное соотношение:
1=Е\п)(п\, (5.11)
П = 1
которое называют разложением единичного оператора. Вектор \п), записанный
в виде (п | (соответствующее обозначение носит название "бра"-вектора),
называют сопряженным. Из обозначения А =\п){т\ естественно вытекает
определение (^| Л | ф) = {Х\п) {т |ф). Подставляя единичный оператор в
вышеприведенную формулу, нетрудно видеть, что соотношения (5.8) и (5.10)
являются простыми тождествами. Соотношение (5.11) справедливо для
произвольного полного ортонормиро-ванного базиса {|п}}.
102
ГЛ. 5. СТАТИСТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ
Оператор Л+, сопряженный оператору А, определяется соотношением
<Я t 1 ^> = I Л|Я>\ (5.12)
которое должно выполняться для всех (или почти всех) |Х) и |г|з). Если
ЛЛ+ = AfA = I, то Af = А~1 и оператор А является унитарным. Для
унитарного оператора А имеем \\А | г|з) || = II | г|з)|[ для любого
вектора |\|з). Если Л+ = А, то оператор Л называется эрмитовым. Из (5.12)
следует, что значение (г|з|Л|г|з) для эрмитова оператора всегда
действительно. Эрмитов оператор Л, удовлетворяющий условию (г|з | Л
|г|з)^0 для всех (или почти всех) |t|?), называют положительным. В
конечномерном гильбертовом пространстве каждому эрмитову оператору
соответствует полный набор ортогональных собственных векторов и
действительных собственных значений, для которых имеет место соотношение
А\ап) = ап\ап). (5.13)
Если оператор Л положителен, то В представ-
лении базиса \ап) оператор Л диагоналей, т. е. (ат\А |ап) = а"8пт- В
гильбертовом пространстве с бесконечным числом измерений можно таким
образом диагонализовать не каждый эрмитов оператор, далее если он
ограничен.
Два момента, относящиеся к используемым нами эрмитовым операторам,
заслуживают комментариев. Будем предполагать, что эрмитовы операторы, с
которыми мы имеем дело, обладают полными спектральными разложениями и
являются, таким образом, самосопряженными по математической терминологии.
Это свойство означает, что эрмитов оператор Л порождает унитарное
преобразование U(s) = exp (гхЛ), где s - действительное число, и что
величина (г|> | exp (isA) j г|з) допускает представление
(г|з | e'sA | -ф) = J eisa da (а), (5.14)
где а - некоторая (вероятностная) мера, определяемая величинами |г))} и
Л. Чтобы найти пример оператора,
§ 2. КВАНТОВЫЙ ФОРМАЛИЗМ И ОБОЗНАЧЕНИЯ 103
который является эрмитовым в элементарном смысле, но не удовлетворяет
соотношению (5.14), достаточно рассмотреть оператор -ibdjdx, действующий
в гильбертовом пространстве функций f(x), определенных для х > 0. В
физике обычно вводят ненормируемые собственные векторы (нормировка на 6-
