Статистическая термодинамика - Киттель Ч.
Скачать (прямая ссылка):
величину, которая не флуктуирует при тепловом контакте системы с
резервуаром. Это согласуется с нашим определением
7-(!?-)"• (И>
где (daldU)x вычисляется для наиболее вероятной, или равновесной,
конфигурации системы. Таким образом, энергия системы может флуктуировать,
а температура нет. Однако некоторые авторы не пользуются таким строгим
определением температуры. Например, в книге Ландау и Лифшица приводится
следующий результат [18]:
k-pT2
<(ДГН> = -^-, (65)
но его можно рассматривать всего лишь как иную форму соотношения (63).
Так как ДU = СуБТ, то (65) принимает вид
<(Д U)1) = kBT2Cv, (66>
что совпадает с нашим результатом (63).
Задача 6.4. Большая сумма для двухуровневой системы.
а. Рассмотреть систему, которая может быть либо "пустой" при нулевой
энергии, либо может содержать одну частицу в любом из двух состояний -
одном с нулевой энергией, другом с энергией е. Показать, что большая
сумма для этой системы имеет вид
х = 1 + X + X ехр (- е/т).
Наше предположение исключает возможность того, что одна частица может
одновременно оказаться в каждом из этих состояний.
б. Показать, что тепловое среднее числа частиц в системе равно
(67>
в. Показать, что тепловое среднее числа частиц в состоянии с энергией е
равно
<",,"> (68>
г. Найти выражение для средней тепловой энергии системы.
д. Предполагая, что каждое состояние может быть одновременно занято одной
частицей, показать справедливость соотношения
= 1 + X + X ехр (- е/т) -f Xs ехр (- е/т) = (1 -f X) (1 + X ехр (- е/т)).
(69)
Заметим, что поскольку SC можно представить в виде такого произведения,
оба состояния действительно независимы друг от друга.
90
ГЛ. 6. ФАКТОР ГИББСА И ФАКТОР БОЛЬЦМАНА'
Задача 6.5. Гармонический осциллятор. В квантовой механике одномерный
гармонический осциллятор имеет бесконечный набор равноотстоящих друг от
друга энергетических состояний, причем
es = shot. (70)
где s - положительное целое число или
нуль, со - классическая частота осциллятора. Мы выбрали нулевую энергию
для состояния s = 0, но для некоторых целей удобнее писать e8=(s+V2)Лсг>,
где 72Йш называют нулевой энергией.
а. Найти статистическую сумму и показать, что она равна
Z -
1 - ехр (- Ыо/т) '
(71)
Ja> 3Е
Рис. 6.10. Зависимость теплоемкости от температуры для гармонического
осциллятора с частотой со.
По оси абсцисс отложена температура в единицах т/Асо, что аналогично
где 9^,-темпера-
тура Эйнштейна. В высокотемпературном пределе Эта величина называется
классическим
V Б
значением теплоемкости. При низких температурах С экспоненциально
уменьшается.
б. Показать, что средняя энергия по ансамблю равна
U =
Йсо
ехр (Йсо/т) - 1
(72)
Показать, что U-*¦ т при т" "Йсо. Для учета нулевой энергии осциллятора
достаточно добавить '/гйсо к (72). Показать, что после такого добавления
энергия осциллятора при высоких температурах равна т с большей точностью.
в. Показать, что теплоемкость одного осциллятора равна
г ~(Ё?Л -ь ( V ехр
v \ дТ )у Б V т ) (ехр(е/т)- I)2
(73)
Трафик этой функции показан на рис. 6.10. Отметим, что нулевая энергия не
вносит вклада в теплоемкость.
г. Колебательная частота молекулы водорода Н2 равна v = 4395 см-1 (см.
таблицу). При колебании оба ядра движутся, сближаясь и расходясь.
Таблица
Колебательные частоты двухатомных молекул
Молекула
н2
Не2
<>2
С12
Вг2
4395
1811
1580
892
565
323
<0,
пН
8,279
3,411
2,976
1,680
1,064
0,608
0?, К
6300
2600
2260
1280
810
460
Молекула
HF
НС1
НВг
СО
CN
V, см
4139
2990
2650
2170
2069
ш,
Л*
7,797
5,632
4,992
4,088
3,897
0?. К
5930
4280
3800
3110
2960
ОТРИЦАТЕЛЬНАЯ ТЕМПЕРАТУРА
9 Г
вдоль соединяющей их прямой. Определить энергию молекулы водорода п.
эргах на моль при температуре т = йб0е, причем йб0е = йы.
Замечание. При "частоте", заданной в см-1 или в волновых числах, она-
считается равной 1/А,, где А - длина волны. Для перехода к радианам в
секунду нужно умножить соответствующую величину на 2яс, где с - скорость
света.
Вопрос об энтропии гармонического осциллятора обсуждается в гл. 15, а
затем вновь в гл. 18.
Задача 6.6. Эффект Оверхаузера. Предположим, что с помощью
соответствующего механического или электрического внешнего устройства
можно увеличивать энергию теплового резервуара на ае каждый раз, когд?
резервуар передает системе квант энергии е. Здесь а-некоторый
положительный нли отрицательный численный множитель. Показать, что
эффективный фактор Больцмана для такой аномальной системы имеет вид
Р (е) со ехр [- (1 - а) е/т]. (74}
Данное соотношение служит основой для объяснения эффекта Оверхаузера при
ядерной поляризации в магнитном поле, достигающей значений, превышающих
тепловую равновесную поляризацию [19-21, 22*].
Задача 6.7. Состояния с положительной и отрицательной ионизацией..
Рассмотреть решетку из з- репленных водородных атомов. Предположим,,, что
каждый атом может существовать в четырех состояниях:
Состояние электронов ЭнеРгия
Основное 1 -Vs А
