Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
eF. В соответствующих диаграммах, которые мы будем называть не-
Рис. 19
ориентированными, достаточно указать лишь-одну из возможных ориентаций
каждого из свободных концов.
Некоторые примеры на использование правил Фейнмана будут приведены в
следующем параграфе.
§ 14. ОБЩАЯ СТРУКТУРА МАТРИЦЫ РАССЕЯНИЯ
14. 1. Пользуясь правилами Фейнмана, можно перейти к анализу структуры
S-матрицы в целом, не связывая себя низшими порядками теории возмущений
*.
Разлагая S-матрицу сначала по Г-произведениям, а затем по нормальным
произведениям, увидим, что каждое нормальное произведение может появиться
в любом порядке теории возмущений; в высших порядках оно будет
сопровождаться соответственно большим числом сверток операторов. Иными
словами, вклад в элемент S-матрицы, отвечающий данному процессу, дают
члены всех порядков теории возмущений.
Суммируя коэффициенты при данном A-произведении во всех порядках теории
возмущений, легко прийти к следующему общему представлению S-матрицы в
виде суммы нормальных произведений:
5=5^, (14.1)
п=0
* Число частиц N в системе предполагается большим. Возможные нарушения
приводимых соотношений касаются высших членов ряда теории возмущений и
дают относительный вклад порядка 1/iV.
126
где
S(n) = J d\ . . . dndV . . . dn'Kn (1 . . . n, Г . . . n') x хАПф+(1). .
. ф+(n) ф (n') . . . ф(Г)].
Рассмотрим несколько первых членов этого разложения. Как будет видно из
дальнейшего, соответствующие коэффициентные функции К играют важную роль
в излагаемом аппарате.
14. 2. Начнем с нулевого члена выражения (14. 1):
Эта величина не является оператором и может быть получена усреднением
выражения (14. 1) по состоянию ?" [см. соотношения (8.6)1. Она описывает
внутренние (вакуумные) переходы
системы без участия каких-либо внешних частиц или дырок. Примеры диаграмм
таких переходов были приведены на рис. 15.
Указанные переходы не отвечают каким-либо реальным процессам,
происходящим в системе, поэтому их можно вообще исключить из
рассмотрения.
Разберем более подробно структуру величины Ко- Предварительно введем
понятие о связных диаграммах. Диаграмма называется связной, если ее
нельзя рассечь линией, не пересекающей ни одной из линий диаграммы.
В величину К0 вносят вклад как связные (рис. 20, а и б), так и несвязные
(рис. 20, виг) диаграммы. Обозначим через L сумму всех связных диаграмм,
дающих вклад в К о- Тогда величину К0 можно представить в виде
Здесь учтен вклад всех (связных и несвязных) диаграмм.
Первый член этого разложения связан с нулевым членом ^-матрицы. Второй
описывает все связные диаграммы. Третий включает в себя сумму вкладов
(или просто сумму) всех несвязных
Sm = Ko = (4o\S\V0).
(14. 2)
Рис. 20
(W0\S\W0)=l +L + 4r + 4r+ ••• =exP(L>- (14-3)
127
диаграмм, каждая из которых составлена из двух связных. Четвертый
отвечает несвязным диаграммам, составленным из трех связных и т. д.
Поясним структуру этих членов, основываясь на правилах Фейнмана. Прежде
всего, элемент 5-матрицы несвязной диаграммы распадается на произведение
независимых элементов, отвечающих связным диаграммам. В этом смысле
появление степеней L2, L3 и т. д. является совершенно естественным.
Что же касается численных коэффициентов, то появление факторов 1/2!, 1/3!
и т. д. объясняется следующим образом. Рассматривая для простоты третий
чл"ен выражения (14. 3), представим L в виде суммы 2 Ln диаграмм разного
порядка теории воз-
П
мущений. Сконструируем теперь всевозможные несвязные диаграммы,
составленные из пары связных. Необходимо различать два случая: пары
одинаковых (см. рис. 20, в) и пары различных (см. рис. 20, г) связных
диаграмм. В первом случае правило
t-i)2n (-\)2т
Фейнмана 2 приведет к численному множителю ----51------------------,
^сум
где пит - порядок и число петель в каждой из связнЫх диа-грамм. Число
исум, представляющее собой число обозначений аргументов, не меняющих
выражения для элементов 5-матрицы, равно 2х2, где и - аналогичное число
для каждой из связных диаграмм. Лишняя двойка отражает тот факт, что для
рассматриваемой несвязной диаграммы в число переобозначений входит
взаимный обмен координат обеих (одинаковых) связных частей. Таким
образом, та часть третьего члена выражения (14. 3), которая связана с
парами одинаковых диаграмм, имеет вид
П
Что же касается пар неодинаковых диаграмм, то там фактор 2 отсутствует,
так как указанная перестановка аргументов невозможна. Соответствующий
вклад в третий член выражения (14. 3) равен просто 2 LnLm. Суммируя оба
приведенных выражения,
пфт
приходим к нужному виду рассматриваемого члена. Аналогично обосновывается
вид остальных членов выражения (14. 3).
Как уже указывалось в § 12, при стремлении параметра б, определяющего
скорость включения взаимодействия, к нулю величина L возрастает как 1/6.
Поэтому можно написать (Y0|S|Y0) = exp(L0/6),
где L = Lfjb.
Вакуумные переходы всегда сопровождают реальный процесс; иными словами,
рассматривая элемент 5-матрицы, следует учитывать и несвязные диаграммы,
