Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
содержащие вакуумные переходы. Рассуждения, аналогичные приведенным выше,
показывают, что в рассматриваемом случае вакуумные переходы выделяются в
виде множителя
S = ( IPq | S [ 4*0 ) Эреальн > (14.4)
128
где Эреальн - элемент 5-матрицы самого интересующего нас процесса.
Таким образом, обнаруживается полная независимость вакуумных и реальных
процессов (произведение вероятностей), что позволяет совершенно отвлечься
от вакуумных переходов
14. 3. Рассмотрим следующий член разложения (14. 1):
5(I) = J dl d2Kr (1, 2) N [ф+ (1) ф (2)]. (14 5)
Выделяя из Ki член, отвечающий вакуумным переходам, получим
*,(1, 2) ~ f (TP"0j*S,|vEfо) 2 (1, 2),
где Б носит название собственно энергетической части. Это название
заимствовано из квантовой теории поля, где аналогичная величина описывает
взаимодействие частицы с ее собственным полем.
?iOf
I I
-I---и
J ^
5Г
I I I
г
Рис. 21
В теории многих частиц 5(ц описывает процессы перехода частицы из точки 1
в точку 2 или дырки в обратном направлении, т. е. процессы их
распространения с учетом взаимодействия с чаг стицами системы. Примеры
таких переходов даны на рис. 14.
Собственно энергетической части также ставится в соответствие некоторый
графический образ (рис. 21, а). На диаграммном языке Б представляет собой
сумму диаграмм, имеющих два свободных конца. Соответствующие примеры
приведены на рис. 21, б-д.
Как будет выяснено в следующем параграфе, через величину Б
непосредственно выражаются важнейшие физические характеристики системы
частиц.
Вычислим с помощью правил Фейнмана величину Б(1, 2) в низшем (втором)
порядке теории возмущений (см. рис. 21, б и в). Отбрасывая равный единице
в этом приближении фактор ( | 51 'Fo). построим соответствующий элемент
5-матрицы, име-
ющий вид
5 = ij dl d2 2 П ,2) N [ф+ (1) ф (2)]. (14. 6)
Производимые ниже операции будем нумеровать теми же цифрами, что и
соответствующие правила Фейнмана в разделе 13. 2.
1. Единственные две топологически различные диаграммы процесса
изображены на рис. 21, б и в.
129
2. Подсчет фактора я был произведен в разделе 13. 1, где было найдено я =
1 для обеих диаграмм. Для первой диаграммы т = 1, для второй т - 0.
Отсюда численный множитель при элементе S-матрицы равен соответственно +1
и -1 (п = 2).
3. Рассматривая одновременно все возможные процессы распространения,
отвечающие нашим диаграммам, следует взять ЛРпроизведение в виде N [ф+(1)
ф (2) ].
4. Для первой диаграммы виртуальные линии описываются комбинацией
iG0 (2, 1) Ю0 (3, 4) iG0 (4, 3),
для второй-
iG о (4, 1) iG о (3, 4) iG о (2, 3).
5. В обоих случаях линиям взаимодействия отвечают множители
У (1,3) У (2, 4).
6. В обоих случаях входят интегралы
\d\d2d3d4.
Используя выражение (14. 6), получим 2 (1, 2) = -J d3 d4V (1, 3) У (2, 4)
{G0 (2, 1) G0 (3, 4) G0 (4, 3) -- Go (4, 1) G0 (3, 4) G0 (2, 3)}.
(14.7)
To же получится из сопоставления выражений (12. 5) и (12. 2) с (14: 5).
14. 4. Построим собственно энергетическую часть в энергети- . песком
представлении, рассматривая переход р -> v и переписывая соотношение (14.
6) в виде
SMV = 2га' J de 2дДе)М б (e - ед) б (e - ev).
Определенная таким образом величина Sjw (е) удовлетворяет соотношению
2 0' 2) = j ~ДГехР [-t'eOi - к)\ 2 Xu(Яъ) tv(<7i) 2nv (е), (14.8)
\Х, V
т. е. является коэффициентом разложения по системе %v и фурье-образом по
t1 - /2 функции 2 (1,2).
Используем далее правила Фейнмана, изложенные в разделе 13. 3.
1. Топологически различные энергетические диаграммы изображены на рис.
18, а и б.
2. То же, что в разделе 14. 3.
3. Появляется N (AtA^).
4. Появляется комбинация
f2 d&z^6gG0" (в]) G0I1 (s2) ((r)з)-
4 * Ц1И2Ц3
130
5. Матричные элементы, входящие в первую диаграмму, имеют вид
(р, р3| K|pj., р2) ( р-i, р2| V\v, рз),
во вторую -
(р, Рз| К|Р!, р2> ( Нч. Psl VIPs, V) =
= < р, Рз I v\ Pi, р2) ( pl5 Pal VgP\ V, p3),
где sf-оператор обмена координат (или, что то же, обмена индексов
состояния) *.
Кроме того, входят 6-функции
(2л)2 6 (е^ + е3 - е2 - е2) 6 (ei + е2 - е3 - ev).
Окончательно получаем
Shv (в) = (2я)2 ^ f ^е1 ^е2^ез ( Н-Вз I ^1 НдШ
)
( PjP2 j К (1 в)) ] vp3 ) G0(Jj (ej) G0lx^ (e2) (e3) x
X 6 (e + e3 - ex - e2).
Интегрирование по энергиям можно произвести в конечном виде, используя
результаты приложения В. Это дает
Snv(e)= 2 (l'P8|V|p1p2)(p1P2|V(l-^)|vp,)x
v j ~ "ni) 0 ~~ 1__________(* ~ nn3) 1 /14 Q\
1 8 + Sa"eH. -8M,+<fi е + еМз-ею-еЧ2-гб J
Первый член в фигурных скобках отвечает собственно диаграммам,
изображенным на рис. 18, а и б: состояния р2 и р2 присущи частицам и
вносят вклад в соотношение (14. 9) лишь выше сферы Ферми, состояние р3 -
дырочное и эффективно лишь ниже сферы Ферми. Второй член в фигурных
скобках отвечает диаграммам, топологически эквивалентным рассмотренным
выше (см. рис. 18, в). Здесь состояния щ, р2 отвечают дыркам, р3 -
частице. Это как бы вывернутая наизнанку диаграмма рис. 18, а.
Рассмотрим собственно энергетическую часть в импульсном представлении для
