Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
пространственно-однородной системы. Исходя из разложения Фурье
2 (х) = j s(p, е) ехр [i [рх - е/)|
* Диаграммы, которым отвечает оператор обмена <3, будем называть обмен
ными корреляционными диаграммами.
131
и используя правила Фейнмана Для диаграмм рис. 22, найдем (g - дискретные
индексы):
2q,q,(p, е) = Id.zqd.sk'^ [(PiqJ|v [k)\ 1 Q2e3 ) -
Qs
- ( eiQaU* (k'v(p - q - k) I 6362 )]x-
X(
(1 - 'U+'l (1- n->+\nq n+ + (1 - nq)
\ P-k) \ 4+kl , p-k q+k v _______)
где
' -> p-k q-\-k
.Л +
10 8 -f Z a
e-> e-> -> p-k q+k
- /6 ,
Яр = 0 {pl - P2).
(14. 10)
q -t К
P * К
Рис. 22
Для потенциала, являющегося просто функцией координат, выражение в
квадратных скобках приобретает вид
j.Q.ig|v й| - v* [k)v (
p - q-
где g - фактор вырождения (см. § 4).
. 14. 5. Третий член разложения (14. 1) имеет вид
5(2) = Jdld2d3d4/C,(U 2, 3, 4) TV [ф+ (1) ф+ (2) ф (4) ф (3)]. (14. 11)
Выделяя процессы вакуумного типа, имеем
Кг = (Y0|S|Y0)r(l,2, 3, 4),
где Г - потенциал эффективного взаимодействия или вершинной части.
Элемент 5(2) описывает всевозможные процессы, диаграммы которых содержат
четыре свободных конца. Сюда относятся процессы рассеяния частицы на
частице, дырки на дырке, частицы на> дырке с учетом их корреляционного
взаимодействия с системой частиц. Примеры таких диаграмм,
рассматривавшихся и выше,
Ш
приведены на рис. 23, где видно, что действительно вершинная часть,
которую графически представляют символом, изображенным на рис. 23, а, в
определенном смысле описывает модифицированный закон взаимодействия,
показывая, как меняется линия взаимодействия при учете корреляционного
взаимодействия.
В низшем порядке теории возмущения, как видно из сравнения выражений (14.
11) и (12. 1) *,
Г(1, 2, 3, 4)
У (1, 2)6(1 -3)6(2 -4). (14.12)
У
I
Л
v
¦/
т
I I I
Y о
I
д
Рис. 23
idf
А
Собственно энергетическая и вершинная части, описывая влияние
корреляционных эффектов на линию частицы и линию взаимодействия, являются
важнейшими структурными элементами, из которых можно построить диаграмму
любого' процесса (подробнее см. § 20, 25).
§ 15. МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ И ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ
15. 1. Располагая выражением для собственно энергетической части 5-
матрицы, можно получить разностороннюю физическую информацию о
рассматриваемой системе многих частиц.
Найдем прежде всего выражение для одночастичной матрицы плотности системы
с учетом корреляционного взаимодействия между частицами. С помощью этой
величины можно получать сведения о тех же характеристиках системы, что и
с помощью матрицы плотности в приближении Хартри - Фока, которую мы здесь
обозначим через R0:
___________ tfotoi, ?2)= <1Ро|'Ф+ЫФЫ|1Ро>-
* Учитывая антисимметрию Г относительно перестановок li^2 или 3~7~М. в
соотношении (14. 12) следовало бы сделать замену:
6(1 -3)6(2 - 4) = 4-[6 (1-3) 6 (2 - 4) - 6(1 - 4)6(2 - 3)].
133
Включение корреляционного взаимодействия отразится, очевидно, только на
волновых функциях которые следует заменить точными волновыми функциями
Wr*. Что же касается операторов поля, то в представлении Шредингера их
вид вообще не меняется от взаимодействия. Таким образом, точная матрица
плотности имеет вид
# (Яи Яг) = (?|Ф + (<4) Ф(<4) ?)• (15. 1)
Чрезвычайно удобно сделать замену
Ф+(<7г) Ф (<7i) = lim Т[ф+(2) фг(1)]- (15.2)
t2>tt
11. **->о
Здесь величина t2, как и стремится к нулю, но остается больше tx. При
этом, во-первых, соблюдается требуемый порядок операторов и, во-вторых,
каждый из них совпадает с оператором в представлении Шредингера. В
результате получаем
/?(*,*) = Пт (1Р1Г[ф+(2)фг(1)]11Р)- (15.3)
^ 2 - f 1-*+0
Рассматриваемое среднее значение зависит фактически только
от разности времен 4 - t2.
Перейдем в этом выражении от представления Гейзенберга к представлению
взаимодействия, пользуясь соотношениями (9. 21) и (9. 26):
фг(1) = 5(0, 4) фв(1)5(4, 0), ф+(1) = 5(0, 4) ф+(1)5(4, 0),
V = S(0, -оо)?0,
= V*5(- оо, 0).
Среднее значение, входящее в выражение (15. 3), принимает при 12 > t!
следующий вид:
< V0J^(-оо, 4)ф+(2)5(4, 4) Фв (1)^(4- -00)1^0).
Здесь использовано групповое свойство 5-матрицы (9. 7). Записывая S(-оо,
4) через 5-1 (со, -оо) 5 (со, t2), учтем свойство устойчивости основного
состояния (9. 18'). Рассматриваемое среднее значение можно, таким
образом, переписать в виде <V0\S (ОО, g ф+ (2) S (tr g % (1) S (tv -со) I
?0 > •
< 4ro|5J 4ro>
Из этого выражения видно, что операторы, входящие под знак среднего,
расположены точно в хронологическом порядке **: сна-
* В дальнейшем для упрощения формул будем опускать индекс "г" у Чгг.
** Представление S-матрицы в виде хронологического произведения допускает
следующую наглядную интерпретацию. Разобьем S (оо, -оо) на произ-.
вольное число сомножителей, пользуясь свойством S-матрицы (9. 7): S (оо,
- оо) = 5 (оо, 4) S (4, t2) ... S (4, -оо). Здесь 4> 4 . . >
Хронологизация предстает тут в явном виде: каждый из сомножителей
содержит времена более поздние, чем у правого, и более ранние, чем у
