Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
касается второго члена, то он отвечает изменению самого характера
взаимодействия между частицами, т. е. учитывает собственно корреляционные
эффекты.
15. 4. Выражение для энергии системы можно представить в иной форме,
если воспользоваться приемом, уже применявшимся в § 9. Заменим
гамильтониан корреляционного взаимодействия Н' величиной Я//', где Я -
некоторый параметр, который после проведения выкладок будет положен
равным единице. .При этом все величины, фигурирующие в расчете: ф,, ф+,
S, 2 и т. п., будут функциями Я.
Используем общую квантовомеханическую теорему [24]
дЕ/дХ = ( Ф | аЯ/аЯ | Ф >, (15.12)
для доказательства которой достаточно продифференцировать по Я уравнение
(Н - Е) Ф = 0, умножить результат слева на Ф* и учесть эрмитов характер
Н. В рассматриваемом случае дН/дЯ = = Н' и мы приходим к выражению
I
? - Е0 = $dX(W\H' |Ф). (15.13)
о
Здесь учтено, что при Я = 0 мы возвращаемся к приближению Хартри - Фока.
Оператор Н' выражается в форме
Я' =±(Н-Н0),
где оператору Н может быть придан вид
Н = J dqхф+ fa) IТ + (1 - Я) W] ф fa)+
+ f dqi dq^+ (*) fa) Ф fa) + (1 - Я) c.
Здесь С = y j" dq ( Ф0 | ф+ (q) И^ф (q) | Ф0 ). Справедливость выражения
для//легко проверить, собирая члены, пропорциональные Я, которые в
точности дают ./V-произведение требуемого вида. Повторяя рассуждения
предыдущего.раздела, находим
Н=~ f dqtf (1) [i - А- + T+(l-m] Фг (1) + (1 - X) С.
<,->о
Вычитая отсюда
я0= J ^ф+онг+иоф.-Оэ + с,
t^O
получим
и' = Ж fdq^ 0) [1' 4г'~ Т-(1 + к) W] <-(1)~с-
138
X
?-?0 = 4-fiT^fd9i lim Г ^3 / S (1, 3)G0(3, 2)
Окончательно с учетом уравнения (i-Jj T-И^ФвО)
= О можно написать
= -j-k to [iJL-T-(.i+m}
J <i-<i->-+0
x{< ^|Г[я|;+(2)г|,г(1)]|?)-( %| Г [^+(2)^(1)] | V0 )}.
Наконец, подставляя это выражение в (15. 13) и используя соотношения (15.
5) и (10. 6), находим
2 | Л"* й Г'
•J t,-ti-^+o О
-Wjd4G0(l, 3) 2(3, 4) G0 (4. 2)J. (15. 14)
В случае пространственно-однородной системы
?-?0=-§-SP<nf-^j>px
X {2(р)С0(р)-Я (е?-р2/2УИ)С2(р)2(р)}- (15.14')
Здесь от X зависит величина 2 , будучи собственно энергетической частью
5-матрицы, отвечающей гамильтониану ХН'.
Разложение полученного выражения в ряд теории возмущений по Н' проще
всего проводить, разлагая подынтегральное выражение в ряд по X. В
частности, в низшем (втором) порядке
теории возмущений имеем 1
?--?"= lim So (1,3) G0 (3,2). (15.15)
2 к
- dq1 lim
) 2-M
•J ti-t i->
0 - - -X.+0
Здесь 20-собственно энергетическая часть низшего порядка (см. § 14); эта
величина пропорциональна А,2.
Переходя в энергетическое представление и вводя величину 2 V(J (е),
получаем
р р 1 Г 2оуу (^)________
4 J 2п Zj [е - ev-j-t'6 sign (ev - ер)\г
С V
Подстановка выражения (14. 8) и проведение несложного интегрирования по е
(см. приложение В) дают *
? - ?'о = 4_ 2 "АС1 ~Лц-Х1 - ли.)Х
I ^ M'lM'2 [ РР ^°) I М3Ц4 ) Р /J5 Jg\
8Ц, +еЙ2^еМз"еЦ4
* Нетрудно проверить равенство
I < ЦЩа ! V(l - З3) |р3р4 > |2 = 2 { рщ2 | V\ щр4 > ( р3щ| V(\ -; ^°) |
щц2 ) .
139
Это выражение очень напоминает низший член разложения в обычный ряд,
шредингеровской теории возмущений, отвечающий гамильтониану возмущения Н\
(см. § 1). Отличие состоит в том, что в выражении (15. 16) оба
промежуточных состояния ц3 и р4 должны порознь отличаться от начальных
состояний; в то же время в обычной теории возмущений невозможно лишь
одновременное совпадение состояний р3, р4 с р4, р2 (подробнее см. § 17).
15. 5. Рассмотрим корреляционную энергию системы, распределение
плотности в которой близко к однородному. Точнее говоря, предполагается,
что движение частиц в самосогласованном поле является квазиклассическим,
при этом
I = dkldx ~ d/x0 " 1. (15. 17)
Здесь х0 - характерная длина неоднородности, т. е. расстояние, на котором
заметно меняются характеристики самосогласованного поля; d - 1 /р0 -
среднее расстояние между частицами.
В приближении Хартри - Фока величина d является единственным характерным
параметром размерности длины. Фактически самосогласованное поле входит
лишь в величину pt (х) ~ ~d(x)~2, где d (х) - среднее расстояние между
частицами в окрестности данной точки. Поэтому выполнение условия (15. 17)
в этом случае дает возможность считать систему в каждом элементе объема
однородной и использовать для вычисления локальных характеристик системы
формулы, справедливые для однородного случая, но отнесенные к
соответствующему значению плотности. При переходе к другому элементу
объема значение плотности' меняется, но формулы по-прежнему сохраняют
свою силу. Система при этом имеет, как говорят, "квазиоднородный"
характер; величины, описывающие локальные ее свойства, зависят от
координаты х, как от параметра. Интегральные величины, имеющие для
однородной системы вйд Q/ (g) заменяются при этом на J* dxf [q (*)].
Точность такой замены определяется величиной квантовых эффектов, малых
при выполнении условия (15. 17).
При выходе за рамки приближения Хартри - Фока оказывается недостаточным
