Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
левого соседа.
134
чала идет часть 5-матрицы, содержащая времена, большие jf2; затем
оператор в момент t2, далее часть 5-матрицы, отвечающая временам, большим
tx, но меньшим t2, и т. д. Объединяя рассматриваемое выражение с,
аналогичным выражением, относящимся к случаю t! > t2, можно написать
окончательно
<?|Г[ф+(2) iMl)]|Y) =
_ (У0|Г[1|.+ (2)1|,В(1)^] Y") (15
<?0|S|Y0>
Это важнейшее соотношение, которое будет широко использоваться в
дальнейшем.
Выражение (15. 3) легко непосредственно выразить через собственно
энергетическую часть 5-матрицы. Подставляя в числитель соотношения (15.
4) разложение 5-матрицы (14. 1), увидим, что можно ограничиться
рассмотрением лишь первых двух членов этого разложения
S = (4'0\S\'P0){l+i!dl d2 2(l, 2)Л[1|>+(1)11>в(2)]+ •••}•
В самом деле, применяя теоремы Вика, нетрудно убедиться, что члены более
высокого порядка приведут к появлению под знаком среднего нормальных
произведений, отличных от N (1). Последующее усреднение даст, очевидно,
нулевой результат.
Первый член разложения 5 приводит просто к величине
(?0|T[^+(2) гЫ1)]Ю-
Что же касается второго, то дело сводится к вычислению среднего
( Ч'0 | Г (фв+ (2) фв (1 )N [ф+ (3) фв (4)]1 | ?0).
Применяя теорему Вика для смешанных Т-произведений, легко видеть, что
единственным отличным от нуля будет член
*G0 (1,3 ) (-0 Go (4, 2),-
где G0 - свободная функция Грина (см. § 10).
Таким образом,
< У | Г [ф+ (2) фг(1)] |.УР ) = ( | Т [ф+ (2) фв(1)11 У0) +
+ t Jd3d4G0 (1, 3) 2(3, 4) G0 (4, 2). (15. 5)
Возвращаясь к матрице плотности (15. 1), имеем
R (<?i, я г) = Ro (яъ +
+ lira i j dSd4G0 (1, 3) S (3, 4)G0(4, 2). (15.6)
12 - 11 ->-|-0
Первое слагаемое этого выражения отвечает приближению Хартри - Фока,
второе описывает корреляционные поправки к матрице плотности.
135
15. 2. Из соотношения (15. 6) нетрудно найти выражение для плотности
числа частиц системы
Q й = SpaxjR (хх, alt тх; хх, <т2, т2), (15. 7)
откуда
е й - е0 й = SpotJ S d3 d4G0 (1, 3) 2 (3, 4) G" (4, 2)
2-> 1
(go - плотность в приближении Хартри - Фока). Это соотношение описывает
перераспределение частиц в пространстве под действием корреляционного
взаимодей-
(c)ствия. В случае пространственнооднородной системы такого
перераспределения вообще нет.
Для пространственно-однородных _ систем представляет интерес вопрос о
перераспределении частиц по импульсам. Переходя от выражения (15. 6) к
функции распределения
(см. § 4), которая в рассматриваемом случае дает просто распреде-
-" •"
ление по импульсам, найдем, вычисляя фурье-образ по хх - хг:
Q'(p) - Q0(p) = lim i Г exp [ie (t2 - /х)1Х 12-J 00
_________gs(p. e)
e - e_> -f id sign /e_>
P \ P
Это выражение целесообразно привести к иному виду. Продолжим
подынтегральное выражение в последнем интеграле в комплексную плоскость
е. Учитывая, что это выражение достаточно быстро затухает с ростом е и
что в верхней полуплоскости е показатель экспоненты г'е (t2 - П) имеет
отрицательную действительную часть, т. е. экспонента также затухает с
ростом Ime, можно, согласно теореме Коши, заменить интегрирование по е по
действительной оси интегрированием по замкнутому контуру С, включающему
половину большого круга в верхней полуплоскости (рис. 24). Интеграл по
этому полукругу вносит пренебрежимый вклад.
Теперь уже можно перейти к пределу t2 - tx 0; приведенный ниже интеграл
сводится к сумме вычетов в полюсах функций X и (е - е+) + гб sign (е+ -
еП ]2, лежащих в верхней полу-
р р
плоскости:
"(?) -*(?)- ('5-
136
15. 3. Переходим к выражению через 2 важнейшей характеристики основного
состояния системы - его энергии Е. За основу примем обычное выражение для
Е
? = (Ч'|//|гР), (15.9)
где гамильтониан в представлении Шредингера запишем в первоначальном виде
(3. 29):
Н =\ dqq+ (<?) (q) + [ dqdq'^+ (q) ф+ (<?') Уф (q') ф
(q).
Выразим это соотношение через гейзенберговские операторы фг в момент t =
0. Учитывая уравнение движения для этих операторов (см. раздел 3. 9),
можно написать
Я =lim^j dq^t{\)(i-^+ Т) фг(1) =
= 4" jd ft!(tm) (* жг + т) ^ ^ ^ (1>'
tt-> о
Вводя t% > tx и подставляя в выражение (15. 9), можно написать ? = 4-Г^1
lim ("'-Jr+ Т) ( ?|Г [ф+(2)фг(1)][ф).
J tx-t 1->+0
Далее можно использовать соотношение (15. 5). Первый член его правой
части отвечает приближению Хартри - Фока и при подстановке в Е дает
?0 = Spl(T+ 1W2)q].
Остающаяся часть энергии отвечает корреляционному взаимодействию и имеет
вид
E - E0 = -LCdq1 Шп (t ~ + Т) Г dZdAGa (1, 3)х
tx-tx-++о V
X 2(3, 4)С0(4, 2). (15.10)
Чтобы выяснить физический смысл этого выражения, представим его в
несколько ином виде. Учитывая уравнение
2) = б(1-2),
имеем
Е - Гdq1 lim (т + -f-) [R (qlt qt) - R0 (qv q2)\ +
J qz->qi \ J
+ ±Cdq1 lim d3S(l, 3)G0(3, 2). (15.11)
z I 2->l
^ 12 -
Здесь использовано соотношение (15. 6). Первый член выражения (15. 11)
описывает изменение кинетической энергии частиц
137
и их самосогласованного взаимодействия за счет обусловленного
корреляционными эффектами их перераспределения по состояниям. Что же
